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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 3

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado

x = t 3 + 1  

y = t 4 + t

t =   - 1

Passo 1

Fala ai pessoal, Tranquilo? Para encontrarmos a equação tangente no ponto, temos que derivar as equações e substituir na equação da reta.

y - y 0 = a x - x 0

Vamos começar aplicando a regra da cadeia. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. (o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs)

d y d x = d y d x . d t d t   → d y d t . d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Quando terminarmos de calcular a derivada, vamos montar a equação da reta tangente. Beleza, então, temos essas equações

x = t 3 + 1  

y = t 4 + t

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t 3 + 1     d d t t 4 + t

Passo 2

Então nossa derivada fica:

d y d x = d d t t 3 + 1     d d t t 4 + t

Vamos só lembrar que por definição

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

= 3 t 2 4 t 3 + 1

Passo 3

Agora vamos aplicar nosso ponto para descobrir a inclinação da reta tangente

d d x f - 1 = 3 t 2 4 t 3 + 1

d d x f - 1 = - 3 3

d d x f - 1 = - 1

Lembra como montamos uma equação de reta?

y - y 0 = a x - x 0

Onde esse ( x 0 ,   y 0 ) são nossos pontos iniciais. Como t =   - 1 é só a gente plotar esse numero nas nossas equações para x e y

x = t 3 + 1  

y = t 4 + t

Então fica:

x - 1 = - 1 3 + 1 → 0

y - 1 = - 1 4 - 1 → 0

Então

x 0 ,   y 0 = 0,0

Logo nossa equação da reta fica

y - y 0 = a x - x 0

y = - 1 x

Show! Conforme você for resolvendo com mais funções, mais vai pegando o jeito. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )

Resposta

A equação da reta tangente é y =   - x .

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