Encontre o campo vetorial gradiente ∇ f de f e o esboce. f x , y = 1 2 ( x 2 - y 2 )

Enunciado

E aii, pessoal!

Nessa questão, a gente precisa achar o gradiente de e esboçar.

Pra isso, vamos lembrar quem é o gradiente:

Vamos começar calculando as derivadas parciais, pra definir o campo gradiente.

Daí, vamos analisar ele pra entender como ele se comporta conforme mudamos o ponto .

Começamos derivando em função de , com constante:

Então

Agora derivando em função de , considerando constante:

Então

E o gradiente fica:

Agora a gente vai analisar esse campo.

Percebe que como a primeira coordenada é exatamente , ela vai ter o mesmo valor que a coordenada do ponto.

Ou seja, à direita do eixo , os vetores apontam pra direita (), e à esquerda apontam pra esquerda ().

Já com relação à segunda coordenada, ela vale , então é o oposto da coordenada do ponto.

Assim, acima do eixo , , então o vetor aponta pra baixo. Abaixo, , e o vetor aponta pra cima.

Com isso, desenhamos o campo: