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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 29

Case as funções com os desenhos de seus campos de vetor gradiente (rotulados de I-IV). Dê razões para suas escolhas.

f x , y = x y

Passo 1

Para podermos comparar o campo do vetor gradiente da nossa função com os desenhos (I-IV) do livro, precisamos primeiro determinar quem é este vetor gradiente. Ele é nada mais e nada menos do que um vetor de derivadas parciais. Isto é:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

Portanto, precisamos obter as derivadas parciais da nossa função f . Desta forma,

∂ f ∂ x = y

∂ f ∂ y = x

Portanto, o gradiente da nossa função é:

∇ f x , y = y i + x j

Passo 2

Para podermos identificar qual desenho representa o campo vetorial do nosso gradiente, temos duas opções: utilizar um software para plotar e comparar (o jeito fácil), ou tentar fazer considerações no gradiente para identificar o desenho (o jeito difícil).

Como a questão nos pede para dar razões para identificar o desenho, vamos ter de trabalhar com o jeito difícil....

Para isto, vejamos o que ocorre quando estamos sob o eixo x e sob o eixo y , nosso gradiente se torna:

∇ f 0 , y = y i

∇ f x , 0 = x j

Portanto, o nosso gradiente é perpendicular ao eixo x e ao eixo y . O único desenho que apresenta estas propriedades é o desenho IV.

Logo, ao desenho IV representa o ∇ f .

Resposta

O desenho IV representa o ∇ f .

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Calcular a integral do campo vetorial f → = ( 2 x y ,x 2 , 3 z ) , do ponto A ( 0 ,0 ,0 ) ao ponto B 1 ,1 ,2 , ao longo dos seguintes caminhos:a) Segmento de reta que une os pontos dados.
Calcular a integral I = ∫ C [ x e x d x - ( x + 2 y ) d y ] , onde C é:b) Trajetória parabólica y = - 2 x 2 de (0,0) a (-1,-2).
Calcular a integral do campo vetorial f → = ( 2 x y ,x 2 , 3 z ) , do ponto A ( 0 ,0 ,0 ) ao ponto B 1 ,1 ,2 , ao longo dos seguintes caminhos:b) Intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e x = y .
Calcular a integral I = ∫ C [ x e x d x - ( x + 2 y ) d y ] , onde C é:c) A poligonal de (0,0) a (0,1) a (-1,-2).
Calcular a integral do campo vetorial f → = ( 2 x y ,x 2 , 3 z ) , do ponto A ( 0 ,0 ,0 ) ao ponto B 1 ,1 ,2 , ao longo dos seguintes caminhos:b) A poligonal ACB , onde C3, 3 ,1 .