Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 51
Encontre as dimensões da caixa retangular que possui o volume máximo tal que a soma do comprimento de suas arestas seja uma constante .
Passo 1
Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Aqui a gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa retangular que deverá possuir o seu volume máximo, sendo que o comprimento de suas doze arestas deve ser uma constante qualquer .
Chamemos as dimensões de .
A partir dos dados do problema podemos montar uma equação para a área total e outra para o volume:
E
Vamos então criar uma função do volume com apenas e encontrar as derivadas parciais, para que após isso possamos encontrar os pontos críticos.
Passo 2
Sabemos que:
Podemos escrever como:
E a equação do volume vira:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora em relação a :
Agora vamos então encontrar os pontos críticos:
E
Agora com:
Então:
Veja que não podemos ter uma dimensão nula.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema:
Temos então que:
Agora vamos fazer o mesmo com a outra equação:
E
Utilizamos o que encontramos:
Temos então:
E
E
Esse é então o nosso ponto critico.
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada para realizarmos o teste da segunda derivda:
Derivando:
E:
E agora:
Vamos agora avaliar as segundas derivadas no ponto critico:
E
E por ultimo:
Calculando então :
Então:
Como encontramos:
e , então teremos um máximo local em .
Passo 5
Teremos então que descobrir o valor de :