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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 60

Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.

y = tan 2 ⁡ x ,     y = 0 ,     x = 0 ,     x = π 4 ,     a o   r e d o r   d o   e i x o   x

Passo 1

Para calcularmos o volume é bem simples: definimos O intervalo de integração que é de ( 0 , π 4 ) . A área é A = π tan 2 ⁡ x 2 , usaremos ela na fórmula!!

Podemos calcular o volume!!

Passo 2

V = ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ x 2 d x

Resolvendo a potencia, temos:

V = ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

Podemos usar aquela fórmula trigonométrica: tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1 . Assim, podemos substituir na integral:

V = ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

V = ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x - ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ x d x

Fazemos uma substituição para a primeira integral:

u = tan ⁡ x               d u = sec 2 ⁡ x d x

Logo,

V = ∫ 0 π 4 π tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x - ∫ 0 π 4 π ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

V = π ∫ 0 π 4 u 2 d x - π ∫ 0 π 4 ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

V = π u 3 3 0 π 4 - π ∫ 0 π 4 ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

Como ∫ sec 2 ⁡ x = tan ⁡ x + C , logo

V = π tan 3 ⁡ x 3 - tan ⁡ x + x 0 π 4

V = π tan 3 ⁡ π 4 3 - tan ⁡ π 4 + π 4 - tan 3 ⁡ 0 3 - tan ⁡ 0 + 0

V = π 1 3 - 1 + π 4

V = π π 4 - 2 3

Prontinho!!

Resposta

V = π π 4 - 2 3

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