Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 58

Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo

cilindro z = x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y = 2 – x2 e pela reta y = x no plano xy.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, nosso objetivo é resolver a integral e determinar o volume da região delimitada pela curva , pela curva e pela reta no plano xy. Assim, de posse dessas informações, acompanhe a resolução!

Passo 2

Perceba que a intersecção das curvas e ocorre nos pontos e , para obter isto, basta igualar as expressões e , e resolver a equação do segundo grau dada por: .

Passo 3

Sendo assim, o volume desejado é dado pela integral dupla:

Integrando em y:

Agora, fazendo diversos rearranjos na expressão acima, chegaremos a:

Passo 4

, integrando em , teremos:

Aqui, substituindo os limites de integração e rearranjando, teremos

Resolvendo mais uma vez:

Resposta

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante

Encontre o volume de uma região delimitada superiormentepelo paraboloide z = x2 + y2 e inferiormente pelo triângulodelimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy.

Encontre o volume do sólido cuja base seja a região no planoxy que é delimitada pela parábola y = 4 – x2 e pela reta y = 3x,enquanto o topo do sólido é delimitado pelo plano z = x + 4.

Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitadopelos planos coordenados, pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelo plano z + y = 3.