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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 59

Encontre o volume do sólido cuja base seja a região no plano

xy que é delimitada pela parábola y = 4 – x2 e pela reta y = 3x,

enquanto o topo do sólido é delimitado pelo plano z = x + 4.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos resolver a integral determinar o volume do sólido que tem base no plano xy delimitado pela parábola y = 4 - x 2 e a reta y = 3 x , enquanto que o topo do sólido é formado pelo plano z = x + 4 . Acompanhe as explicações e vamos lá!

Passo 2

Perceba que a intersecção das curvas y = 3 x e y = 4 - x 2 ocorre nos pontos ( - 4,0 ) e ( 1,0 ) , para obter isto, basta igualar as expressões e resolver a equação do segundo grau dada por: x 2 + x - 4 = 0

Sendo assim, o volume desejado é dado pela integral dupla:

V = ∫ - 4 1   ∫ 3 x 4 - x 2   ( x + 4 ) d y d x

Integrando em y:

V = ∫ - 4 1   [ x y + 4 y ] 3 x 4 - x 2 d x

Passo 3

Fazendo diversos rearranjos na expressão acima, chegaremos a:

V = ∫ - 4 1   x 4 - x 2 + 4 4 - x 2 - 3 x 2 - 12 x d x

V = ∫ - 4 1   - x 3 - 7 x 2 - 8 x + 16 d x

Passo 4

E integrando e m x , teremos:

V = - 1 x 4 4 - 7 x 3 3 - 4 x 2 + 16 x - 4 1 .

Agora, substituindo os limites de integração e rearranjando novamente, teremos:

V = - 1 4 - 7 3 + 12 - - 64 3 - 64 . 

Resolvendo:

V = 157 3 - 1 4 = 625 12

Resposta

V = 625 12

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