Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 72
Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de
maneira semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira iteração das integrais impróprias a seguir é feita como se elas
fossem integrais próprias. Avaliamos, então, uma integral imprópria
de uma variável tomando limites apropriados, como na Seção 8.7.
Calcule as integrais impróprias nos Exercícios 69-72 como integrais
iteradas.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Neste exercício, iremos calcular uma integral dupla imprópria de maneira similar a que se resolve uma integral própria definida.
Passo 2
Inicialmente, vamos considere a integral:
Note que os limites de integração são impróprios, sendo assim, iremos inserir uma variável b que tende ao infinito para integrar em .
Passo 3
Integrando em , teremos:
Perceba que, na medida em que o expoente b tende ao infinito, o resultado da potência tende a zero, portanto:
Passo 4
Agora, vamos integrar em y:
Substituindo os limites de integração, temos que:
Resposta
Portanto, o resultado da integral imprópria é: .