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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 60

Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado

pelos planos coordenados, pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelo plano z + y = 3.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, o nosso objetivo é resolver a integral e determinar o volume do sólido no primeiro octante, o qual é delimitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelo plano z = y + 3 . Acompanhe a resolução!

Passo 2

Perceba que o raio do cilindro é igual a 2 e que ele está no primeiro quadrante, sendo assim, os limites de integração em × partem do zero e vão até 2.

Passo 3

Portanto, o volume desejado é dado pela integral dupla:

V = ∫ 0 2   ∫ 0 4 - x 2   ( 3 - y ) d y d x

Integrando em y, temos:

V = ∫ 0 2   3 y + y 2 2 x 4 - x 2 d x

Agora, fazendo diversos rearranjos na expressão acima, chegaremos a:

V = ∫ - 4 1   3 4 - x 2 - 4 - x 2 2 d x

Passo 4

Aqui, vamos utilizar a técnica de substituição trigonométrica e integrar em x , assim teremos:

V = 3 2 4 - x 2 + 6 s e n - 1 ⁡ x 2 - 2 x + y 2 6 0 2

Agora, vamos substituir os limites de integração e rearranjando teremos:

V = 6 π 2 - 4 + 8 6 V = 3 π - 16 6

Agora, resolvendo:

V = 9 π - 8 3

Resposta

Portanto, o volume desejado é: 9 π - 8 3 .

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