Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 60
Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado
pelos planos coordenados, pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelo plano z + y = 3.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Neste exercício, o nosso objetivo é resolver a integral e determinar o volume do sólido no primeiro octante, o qual é delimitado pelo cilindro e pelo plano . Acompanhe a resolução!
Passo 2
Perceba que o raio do cilindro é igual a 2 e que ele está no primeiro quadrante, sendo assim, os limites de integração em partem do zero e vão até 2.
Passo 3
Portanto, o volume desejado é dado pela integral dupla:
Integrando em y, temos:
Agora, fazendo diversos rearranjos na expressão acima, chegaremos a:
Passo 4
Aqui, vamos utilizar a técnica de substituição trigonométrica e integrar em , assim teremos:
Agora, vamos substituir os limites de integração e rearranjando teremos:
Agora, resolvendo:
Resposta
Portanto, o volume desejado é: .