Encontre o volume de uma região delimitada superiormente

pelo paraboloide z = x2 + y2 e inferiormente pelo triângulo

delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos resolver a integral e determinar o volume de uma região delimitada pelo paraboloide dado por: z = x 2 + y 2 e o triângulo formado pelo encontro das retas y = x , x = 0 e x + y = 2 no plano x y . De posse desses dados, vamos à resolução, acompanhe!

Passo 2

Perceba que a intersecção das retas y = x e x = 0 se dá no ponto ( 0,0 ) .Perceba que a intersecção das retas y = x e x + y = 2 ocorre no ponto ( 1,1 ) .E perceba que a intersecção das retas x = 0 e x + y = 2 ocorre no ponto ( 0,2 ) .Estas informações são importantes para definir os limites de integração.

Passo 3

O volume desejado é dado pela integral dupla:

V = ∫ 0 1   ∫ x 2 - x   x 2 + y 2 d y d x

Aqui, integrando em y :

V = ∫ 0 1   x 2 + y 3 3 x 2 - x d x

Passo 4

Aqui, substituindo os limites de integração e rearranjando, teremos:

V = 2 3 - 7 12 - 1 12 - - 16 12

Resolvendo mais uma vez, teremos:

V = 4 3 . 

Resposta

V = 4 3 . 

Exercícios de Livros Relacionados