Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 57

Encontre o volume de uma região delimitada superiormente

pelo paraboloide z = x2 + y2 e inferiormente pelo triângulo

delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos resolver a integral e determinar o volume de uma região delimitada pelo paraboloide dado por: e o triângulo formado pelo encontro das retas e no plano . De posse desses dados, vamos à resolução, acompanhe!

Passo 2

Perceba que a intersecção das retas e se dá no ponto .Perceba que a intersecção das retas e ocorre no ponto .E perceba que a intersecção das retas ocorre no ponto .Estas informações são importantes para definir os limites de integração.

Passo 3

O volume desejado é dado pela integral dupla:

Aqui, integrando em :

Passo 4

Aqui, substituindo os limites de integração e rearranjando, teremos:

Resolvendo mais uma vez, teremos:

Resposta

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63. Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z = 12 – 3y2e pelo plano x + y = 2.

61. Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabólico z = 4 – y2 .

65. Encontre o volume do sólido que é delimitado na frente e atrás pelos planos x = 2 e x = 1, nas laterais pelos cilindros y = ±1/x e acima e abaixo pelos planos z = x + 1 e z = 0.

64. Encontre o volume do sólido cortado da coluna quadrada |x| + |y| ≤ 1 pelos planos z = 0 e 3x + z = 3.

Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de maneira semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira iteração das integrais impróprias a seguir é feita como se elas fos