Encontre o volume do sólido descrito por S . O sólido S é delimitado por círculos que são perpendiculares ao eixo x , cruzam o eixo x e têm centros na parábola y = 1 / 2 ⋅ (1 - x^2), -1 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o volume do seguinte sólido S :

Algumas características desse sólido:

  • é delimitado por círculos que são perpendiculares ao eixo x ;
  • cruzam o eixo x ;
  • têm centros na parábola y = 1 2 ⋅ 1 - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 1 .

Podemos determinar o volume V da seguinte forma:

V = π ⋅ ∫ a b y 2   d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Se temos círculos perpendiculares ao eixo x nossa integral é dada em x . Assim, teremos

y = 1 2 ⋅ 1 - x 2   ,     - 1 ≤ x ≤ 1  

Nosso volume é dado por

V = π ⋅ ∫ a b y 2   d x

Então, substituindo os valores vamos ter

V = π ⋅ ∫ - 1 1 1 2 ⋅ 1 - x 2 2   d x ∴

V = π 4 ⋅ ∫ - 1 1 1 - 4 x 2 + x 4 d x ∴

V = π 4 ⋅ x - 4 x 3 3 + x 5 5 - 1 1 ∴

V = 4 π 15

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

4 π 15

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