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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 68

Uma tigela tem a forma de um hemisfério com 30   c m de diâmetro. Uma bola pesada com 10   c m de diâmetro é colocada na tigela e a água é derramada na tigela a uma profundidade de h centímetros. Encontre o volume de água na tigela

Passo 1

Falaeee, belezinha??? Bom... a questão quer que encontremos o volume de água em uma tigela que tem a forma de um hemisfério com 30   c m de diâmetro.

Além disso, vale lembrar que uma bola pesada com 10   c m de diâmetro é colocada na tigela e a água é derramada na tigela a uma profundidade de h centímetros.

Nesse sentido, podemos calcular o volume V da seguinte forma:

V = ∫ a b A x d x

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Através do método da arruela podemos descobrir o valor do diâmetro externo (dado pelo hemisfério) que vai ser dado por:

x 2 + y - 15 2 = 15 2 → x = 225 - y - 15 2     i  

Já o nosso diâmetro interno vai ser dado por:

x 2 + y - 5 2 = 5 2 → x = 25 - y - 5 2       ( i i )

Nossa área é dada por:

A y = π ⋅ r a i o   e x t e r n o 2 - r a i o   i n t e r n o 2     ( i i i )

A y = π ⋅ 225 - y - 15 2 2 - π ⋅ 25 - y - 5 2 2

A y = 20 π ⋅ y

Integrando de 0   a   h vamos encontrar o volume que será dado por

V h = π ⋅ ∫ 0 h 20 y   d y = 10 π ⋅ h 2     ( i v )

Passo 3

Quando h se torna maior que 10 , a bola fica totalmente submersa.

O volume adicionado a partir desse ponto pode ser calculado colocando H =   10 na fórmula anterior i v .

Para calcular o volume acima da bola, usamos em i i i o diâmetro externo da tigela apenas e depois calculamos o volume utilizando o intervalo de 10   a   H .

Assim, teremos

V h = 10 π ⋅ 100 = 1000 π

Passo 4

Calculando a área do disco acima de h = 10 teremos

A y = π ⋅ 225 - y - 15 2 2 = π ⋅ 30 y - y 2

Finalmente o volume de água que permanece na tigela é dado por

V y = π ⋅ ∫ 10 h 30 y - y 2 d y ∴

V y = π ⋅ 15 y 2 - y 3 3 10 h ∴

V y = π ⋅ 15 h 2 - h 3 - 2500 3 ,     p a r a   10 ≤ h ≤ 15  

Resposta

π ⋅ 15 h 2 - h 3 - 2500 3

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