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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 54

Encontre o volume do sólido descrito por S . A base de S é um disco circular com raio r . As seções transversais paralelas perpendiculares à base são quadrados.

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que calculemos o volume do sólido S abaixo:

Em que sua base é um disco circular com raio r e as seções transversais paralelas perpendiculares à base são quadrados.

Lembrando que ... o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

S = ∫ a b A ( x ) d x

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para uma melhor visualização da figura, vamos analisar os cortes transversais:

Perceba que os limites de integração são os limites da circunferência, onde:

a = - r

b = r

Ainda, para nosso sólido temos uma base que é um disco circular com raio r , mas para nosso caso colocando no plano cartesiano temos a equação da circunferência dada por:

y 2 + x 2 = r 2 → y = r 2 - x 2

Ou seja, podemos escrever essa área em função de x como sendo:

A x = 2 ⋅ y 2 ∴

A x = 2 r 2 - x 2 2 ∴

A x = 4 ⋅ r 2 - x 2

Agora vamos aplicar na integral do volume!!

Passo 3

Assim, nosso volume será dado por:

V = ∫ - r r 4 ⋅ r 2 - x 2 d x ∴

V = 4 r 2 ⋅ x - r r - 4 ⋅ x 3 3 - r r ∴

V = 16 r 3 3

Entendeu direitinho?? Responde aee!! 😉

Resposta

16 r 3 3

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