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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 33

Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = x + 1 , y = 2 x e y = 0 gira em torno do eixo x . [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]

Passo 1

Bom galera, vamos começar observando o gráfico das nossas funções:

Assim, temos que no intervalo - 1 ≤ x ≤ 0 , nós somos delimitados à esquerda por x + 1 , e à direita pelo eixo x . E no intervalo de 0 ≤ x ≤ 1 nós somos delimitados pelo eixo y na esquerda e pelo eixo x por baixo.

Passo 2

Belezinha, então o volume é a soma de duas integrais:

V = π ∫ - 1 0 x + 1 2 d x + π ∫ 0 1 x + 1 2 - 2 x 2 d x

→ V = π ∫ - 1 0 x + 1   d x + π ∫ 0 1 x + 1 - 2 x   d x

→ V = π ∫ - 1 0 x + 1   d x + π ∫ 0 1 - x + 1   d x

Passo 3

Por fim, resolvemos as integrais e calculamos o resultado:

V = π ∫ - 1 0 x + 1   d x + π ∫ 0 1 - x + 1   d x

= π x 2 2 + x - 1 0 + - x 2 2 + x 0 1

= π 1 2 + 1 2 = π

Resposta

π

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Calcule o volume do sólido cuja base é o triângulo equilátero de lado l e cujas secções perpendiculares a um dos lados são quadrados.
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