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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 8

Calcule a integral.

int (1)/(x^2 sqrt(x^2 - 16)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (1)/(x^2 sqrt(x^2 - 16)) d x

= int (1)/(x^2 sqrt(x^2 - 4^2)) d x

Vamos chamar:

x = 4 sec theta

d x = 4 sec theta tan theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (4 sec theta tan theta)/((4 sec theta)^2 sqrt((4 sec theta)^2 - 4^2)) d theta

= int (tan theta)/(4 sec theta * sqrt(16 sec^2 theta - 16)) d theta

= int (tan theta)/(4 sec theta * 4 sqrt(sec^2 theta - 1)) d theta

= (1)/(16) int (tan theta)/(sec theta sqrt(sec^2 theta - 1)) d theta

Usamos a identidade trigonométrica:

(1)/(16) int (tan theta)/(sec theta sqrt(tan^2 theta)) d theta

= (1)/(16) int (1)/(sec theta) d theta

= (1)/(16) int cos theta d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

(1)/(16) int cos theta d theta

= (1)/(16) [sin theta] + C

= (1)/(16) sin theta + C

Voltando para x :

(1)/(16) ((sqrt(x^2 - 16))/(x)) + C

= (sqrt(x^2 - 16))/(16 x) + C

Resposta

(sqrt(x^2 - 16))/(16 x) + C

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