Calcule.

∫ 2 1 + x 3 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra! Agora vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 2 x - 1 2   d x → d u = 1 2 x d x → d x = 2 x d u

Fazendo a substituição:

∫ 2 1 + x 3 d x = 2 ∫ 1 1 + x 3 d x = 2 ∫ 1 1 + u 3 2 x d u = 2 ∫ 1 1 + u 3 2 u d u = 4 ∫ u 1 + u 3 d u

Agora vamos fazer mais uma substituição:

v = 1 + u → u = v - 1

d v = d u

4 ∫ u 1 + u 3 d u = 4 ∫ v - 1 v 3 d v = 4 ∫ v v 3 - 1 v 3 d v = 4 ∫ 1 v 2 - 1 v 3 d v

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

4 ∫ 1 v 2 - 1 v 3 d v = 4 ∫ v - 2 - v - 3 d v = 4 v - 2 + 1 - 2 + 1 - v - 3 + 1 - 3 + 1 + C

= 4 v - 1 - 1 - v - 2 - 2 + C = 4 - 1 v + 1 2 v 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

∫ 2 1 + x 3 d x = 4 - 1 v + 1 2 v 2 + C = 4 - 1 1 + u + 1 2 1 + u 2 + C = 4 - 1 1 + x + 1 2 1 + x 2 + C

Resposta

∫ 2 1 + x 3 d x = 4 - 1 1 + x + 1 2 1 + x 2 + C

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