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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4d

Calcule.

int (2)/((1 + sqrt(x))^3) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra! Agora vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = sqrt(x)

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) d x -> d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x -> d x = 2 sqrt(x) d u

Fazendo a substituição:

int (2)/((1 + sqrt(x))^3) d x = 2 int (1)/((1 + sqrt(x))^3) d x = 2 int (1)/((1 + u)^3) 2 sqrt(x) d u = 2 int (1)/((1 + u)^3) 2 u d u = 4 int (u)/((1 + u)^3) d u

Agora vamos fazer mais uma substituição:

v = 1 + u -> u = v - 1

d v = d u

4 int (u)/((1 + u)^3) d u = 4 int (v - 1)/(v^3) d v = 4 int (v)/(v^3) - (1)/(v^3) d v = 4 int (1)/(v^2) - (1)/(v^3) d v

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

4 int (1)/(v^2) - (1)/(v^3) d v = 4 int v^(- 2) - v^(- 3) d v = 4 ((v^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) - (v^(- 3 + 1))/(- 3 + 1)) + C

= 4 ((v^(- 1))/(- 1) - (v^(- 2))/(- 2)) + C = 4 (- (1)/(v) + (1)/(2 v^2)) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

int (2)/((1 + sqrt(x))^3) d x = 4 (- (1)/(v) + (1)/(2 v^2)) + C = 4 (- (1)/(1 + u) + (1)/(2 (1 + u)^2)) + C = 4 (- (1)/(1 + sqrt(x)) + (1)/(2 (1 + sqrt(x))^2)) + C

Resposta

int (2)/((1 + sqrt(x))^3) d x = 4 (- (1)/(1 + sqrt(x)) + (1)/(2 (1 + sqrt(x))^2)) + C

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