Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 3
Calcule a área do conjunto de todos os tais que . ( e .)
Passo 1
Vamos lá, vamos analisar a expressão, temos aqui que é uma elipse, e que a equação da elipse pode ser escrita da seguinte maneira:
Isolando vamos ter
Que vai ser o contorno da nossa elipse, e onde a variável varia de até .
Passo 2
Como a elipse é simétrica em relação ao eixo , ou seja, a parte acima do eixo tem mesma área da parte abaixo do eixo , então vamos escrever a área da elipse como duas vezes a área da parte de cima, então
E a área é dada por
Show! Agora o nosso problema é resolver essa integralzinha haha.
Vamos usar mais uma simetria? O lado esquerdo da elipse é igual ao lado direito, não é? Então vamos mudar o limite de integração para de até e multiplicar por de novo!
Passo 3
Beleza! Agora não tem pra onde fugir, vamos ter que fazer essa integral de vez! Pra isso vamos fazer a seguinte substituição trigonométrica
E os limites de integração ficam
Então
Aí, tem uma propriedade trigonométrica beeem importante
Assim
Isso por que no intervalo de até a função cosseno é positiva, por isso, o módulo do cosseno é igual ao cosseno 😉
A nossa área fica
Passo 4
Pra sumir com esse cosseno ao quadrado podemos agora usar arco duplo, ou seja,
E a relação fundamental da trigonometria
Somando essas duas equações ficamos com
Agora, é só jogar na integral e partir pro abraço!
A primeira integral fica
E a segunda
Assim, finalmente (!)
Demorou mas ficou bonita a resposta, não é mesmo :D