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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 31

Encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y = x 4 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 é girada em torno do eixo y .

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido obtido ao girar a curva apresentada em torno do eixo y . Para isso, utilizaremos os conceitos de cálculo de volume utilizando integrais e a tabela de integrais.

Passo 2

Utilizando a definição de volume por rotação, temos

V = 2 π ∫ 0 2 x x 4 - x 2 d x = 2 π ∫ 0 2 x 2 4 - x 2 d x

Utilizando a entrada 31 da tabela de integrais, podemos resolver a integral

2 π ∫ 0 2 x 2 4 - x 2 d x = 2 π x 8 2 x 2 - 4 4 - x 2 + 16 8 sin - 1 ⁡ x 2 0 2

Passo 3

Aplicando os valores em x temos

2 π x 8 2 x 2 - 4 4 - x 2 + 16 8 sin - 1 ⁡ x 2 0 2 = 2 π 2 8 2 2 2 - 4 4 - 2 2 + 16 8 sin - 1 ⁡ 2 2 - 0 8 2 0 2 - 4 4 - 0 2 + 16 8 sin - 1 ⁡ 0 2 = 2 π 2

Resposta

V = 2 π 2

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