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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 6

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

x = y - y 2 ,     x = 0 ,   a o   r e d o r   d o   e i x o   y

Passo 1

Vamos representar esse solido graficamente. Para x = y - y 2 , teremos uma curva com parábola para baixo devido ao sinal negativo, como x = 0 , então

O intervalo de interseção é de (0,4). A área é A = π y - y 2 2 = π y

Podemos calcular o volume!!

Passo 2

V = ∫ 0 1 A ( x ) d x

V = ∫ 0 1 π y - y 2 2 d y

Agora é só calcularmos a integral:

V = π ∫ 0 1 y - y 2 2 d y

V = π ∫ 0 1 ( y 2 - 2 y 3 + y 4 ) d y

Integrando, temos

V = π y 3 3 - y 4 2 + y 5 5 0 1

= π [ 1 3 3 - 1 4 2 + 1 5 5 - 0 3 3 - 0 4 2 + 0 5 5 ]

V = π 30

Prontinho!!

Resposta

V = π 30

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