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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 35

Calcule a integral.

int (1)/(x^4 - x^2) d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando o método das frações parciais. Primeiro, vamos derivar o denominador:

x^4 - x^2 = x^2 (x^2 - 1) = x^2 ( x - 1 ) ( x + 1 )

Assim,

(1)/(x^4 - x^2) = (1)/(x^2 ( x - 1 ) ( x + 1 )) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x - 1) + (D)/(x + 1)

Desta forma,

(1)/(x^4 - x^2) = (A x (x^2 - 1) + B (x^2 - 1) + C x^2 (x + 1) + D x^2 ( x - 1 ))/(x^4 - x^2)

Portanto,

(A + C + D) x^3 + (B + C - D) x^2 - A x + B = 1

Assim, A = 0 e B = 1 . De modo que

{[[C + D = 0],[C - D = - 1]])

Desta forma, encontramos C = - (1)/(2) e D = (1)/(2) . Então

(1)/(x^4 - x^2) = (1)/(x^2) - (1)/(2 (x - 1)) + (1)/(2 ( x + 1 ))

Passo 2

Portanto, a integral pode ser escrita como

int (1)/(x^4 - x^2) d x = int ((1)/(x^2) - (1)/(2 (x - 1)) + (1)/(2 (x + 1))) d x

Calculando a integral, chegamos a

int (1)/(x^4 - x^2) d x = - (1)/(x) - (1)/(2) ln |x - 1| + (1)/(2) ln |x + 1| + C

Resposta

- (1)/(x) - (1)/(2) ln |x - 1| + (1)/(2) ln |x + 1| + C

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