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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 1d

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

0 ≤ x ≤ π e   0 ≤ y ≤ sin ⁡ x

Passo 1

A integração será um problema pequeno comparado a visualização, então preste bastante atenção nos gráficos, eles serão nossa bússola em problemas de volume de figuras rotacionadas.

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

0 ≤ x ≤ π

0 ≤ y ≤ sin ⁡ x

E agora da interseção entre esses dois gráficos, que está em verde:

Passo 2

Para calcular o volume do sólido rotacionado em torno do eixo y , temos que analisar qual é a interseção e qual os intervalos de integração, que serão as retinhas que delimitam a figura de interseção entre os gráficos:

Nesse problema você pode dar uma olhada e vai perceber que é para x = 0   e   x = π

Caso tenha esquecido, tá aí a fórmula:

  V = 2 π ∫ x y d x

Passo 3

Nosso intervalo de integração será para x = 0   e   x = π , e a função   y = sin ⁡ x :

V   = 2   π ∫ 0 π xsin ⁡ x d x

Essa integral não é imediata, teremos que usar um método de integração e qual seria???

Método de integração por parte!!! Lembra?

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = x   d u = d x

d v = sin ⁡ x d x   v = - cos ⁡ x

∫ xsin ⁡ x d x = - x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x d x = - x c o s x + sin ⁡ x   + c

Calculada a integral indefinida faremos a integral definida, agora! Estamos acabando, vamos lá!

V   = 2   π ∫ 0 π xsin ⁡ x d x = 2 π - x c o s x + sin ⁡ x   π o = 2 π π - 0 = 2 π 2

Resposta

V = 2 π 2

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