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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 1e

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

0 ≤ x ≤ 1 e   0 ≤ y ≤ tan - 1 ⁡ x

Passo 1

Para calcular o volume desse conjunto, vamos usar que

V = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x

Como estamos rotacionando em torno de y . Substituindo os limites dados no enunciado, ficamos com,

V = 2 π ∫ 0 1 x tan - 1 ⁡ x d x

Agora é só resolver a integral!

Passo 2

Essa integral não é imediata, teremos que usar um método de integração e qual seria???

Método de integração por parte!!! Lembra?

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Fazendo,

u = tan - 1 ⁡ x   d u = d x x 2 + 1

d v = x d x     v = x 2 2

Substituindo na integral,

∫ x tan - 1 ⁡ x d x = tan - 1 ⁡ x x 2 2 - 1 2 ∫ x 2 x 2 + 1 d x

Teremos um certo problema, pois a integral que está na equação acima não é imediata, porém se a gente reescrever ela de outra forma a gente consegue uma integral imediata. Note que,

x 2 x 2 + 1 = 1 - 1 x 2 + 1

Ou seja,

∫ x 2 x 2 + 1 d x = ∫ 1 - 1 x 2 + 1 d x = ∫ d x - ∫ 1 x 2 + 1 d x = x - tan - 1 ⁡ x + c

Agora que calculamos a aquela nossa integral “problemática”, vamos voltar a integral:

∫ x tan - 1 ⁡ x d x = tan - 1 ⁡ x x 2 2 - 1 2 ∫ x 2 x 2 + 1 d x = tan - 1 ⁡ x x 2 2 - 1 2 x - tan - 1 ⁡ x

Ajeitando tudo,

∫ x tan - 1 ⁡ x d x = tan - 1 ⁡ x x 2 2 + 1 2 tan - 1 ⁡ x - x 2 + c

Calculada a integral indefinida faremos a integral definida, agora! Estamos acabando, vamos lá!

Passo 3

Aplicando os limites de integração, ficamos com

V   = 2   π ∫ 0 1 x tan - 1 ⁡ x d x = 2 π tan - 1 ⁡ x x 2 2 + 1 2 tan - 1 ⁡ x - x 2 1 0

= 2 π π 8 + π 8 - 1 2 = π π - 2 2

Resposta

V = π π - 2 2

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