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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 1a

1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pontos ( x , y ) tais que:

a) 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln ⁡ x

Passo 1

Para calcular o volume desse conjunto, vamos usar que

V = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x

Como estamos rotacionando em torno de y . Substituindo os limites dados no enunciado, ficamos com,

V = 2 π ∫ 1 e x l n   x d x

Agora é só resolver a integral!

Passo 2

Repara que a integral é um produto de duas funções de tipos diferentes (polinômio e logarítmica,

V = 2 π ∫ 1 e x l n   x d x

Por esse motivo vamos utilizar a integração por partes, onde temos que,

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Fazendo,

u = l n   x → d u = 1 x d x

v = x 2 2 → d v = x d x

Temos que a integral fica,

∫ x l n   x d x = x 2 ln ⁡ x 2 - ∫ x 2 2   1 x d x

∫ x l n   x d x = x 2 ln ⁡ x 2 - ∫ x 2 d x ∫ x l n   x d x = x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4 + c

Resolvemos a integral de forma indefinida, mas ainda falta uma parte

Passo 3

Chegamos nesse resultado

V = 2 π ∫ 1 e x l n   x d x = 2 π x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4 e 1

Calculando nos limites, temos que:

V = 2 π e 2 ln ⁡ e 2 - e 2 4 - 1 2 ln ⁡ 1 2 - 1 4 = 2 π e 2 2 - e 2 4 + 1 4 = π e 2 + 1 2

Resposta

π e 2 + 1 2

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