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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 47

Encontre os volumes dos sólidos nos Exercícios 43-48.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que as equações que delimitam o sólido são dadas por:

r = s e n ⁡ θ ∈   e z = 1 - x 2 - y 2

Desse modo, vamos resolver este problema em coordenadas cilíndricas.

d V = r d z d r d θ

Passo 2

Veja que a análise da figura proposta no exercício é elucidativa dos extremos de integração.Diante disso, vamos determinar o volume por integração tripla, usando simetria em relação ao eixO X:

V = ∫ 0 π 2     ∫ 0 s e n ⁡ θ     1 - r 2 r d r d θ

Passo 3

Agora, faremos uma troca de variáveis:

u = 1 - r 2 d u = - 2 r d r V = ∫ 0 π 2     ∫ 0 s e n ⁡ θ     1 - r 2 r d r d θ = ∫ 0 π 2     - 1 3 1 - r 2 3 2 0 s e n ⁡ θ d θ V = - 1 3 ∫ 0 π 2     1 - s e n 2 ⁡ θ 3 2 - 1 d θ = - 1 3 ∫ 0 π 2     c o s 3 ⁡ θ - 1 d θ  Veja a integral de  ∫   c o s 3 ⁡ a θ d θ = c o s n - 1 ⁡ ( a θ ) s e n ⁡ ( a θ ) n a + n - 1 n ∫   c o s n - 2 ⁡ ( a θ ) d θ  Logo:  V = - 1 3 c o s 2 ⁡ θ s e n ⁡ θ 3 0 π 2 + 2 3 ∫ 0 π 2     c o s ⁡ θ d θ + θ 3 0 π 2 V = - 2 9 s e n ⁡ π 2 - s e n ⁡ ( 0 ) + π 6 = 3 π - 4 18

Resposta

Portanto, podemos verificar que o volume da região vale 3 π - 4 18 .

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas cilíndricasCalcule ∭ E z d V , onde E é limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e o plano z = 4 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. θ = π 6
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas. 2 x 2 + 2 y 2 - z 2 = 4 2 x - y + z = 1
Descreva em palavras a superfície com a equação dada. r = 2