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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 10

Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.

  1. 2 x 2 + 2 y 2 - z 2 = 4
  2. 2 x - y + z = 1

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo certo?

A questão nos dá duas equações de funções de 3 variáveis:

2 x 2 + 2 y 2 - z 2 = 4

2 x - y + z = 1

e pede para que a gente reescreve em coordenadas cilíndricas. A conversão de coordenadas retangulares ( x , y , z ) para coordenadas cilíndricas se dá com o uso de algumas equações.

r 2 = x 2 + y 2

t a n   θ = y x

z = z

Para x e y , temos:

x = r c o s   θ

  y = r s e n   θ

Vamos para o nosso processo!

Passo 2

  1. Iremos analisar primeiramente a equação:

    2. 2 x 2 + 2 y 2 - z 2 = 4

    Sabendo que:

    x = r c o s   θ ,   y = r s e n   θ

    Da relação fundamental da trigonometria, temos que s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , então:

    x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = r 2

    Passo 3

    Sendo assim, reescrevendo a equação dada no enunciado, temos:

    2 x 2 + y 2 - z 2 = 4

    E, simplificando a expressão, obtemos:

    2 r 2 - z 2 = 4

    Passo 4

  2. Agora iremos analisar a equação

2 x - y + z = 1

Podemos então substituir as relações descritas no passo 1 nessa equação:

2 r c o s   θ - r s e n   θ + z = 1

Resposta

2 r 2 - z 2 = 4

2 r c o s   θ - r s e n   θ + z = 1

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Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 2 + y 2 d V , onde E é a região que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 16 e entre os planos z = - 5 e z = 4 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 2 d V , onde E é o sólido que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , acimo do plano z = 0 e abaixo do cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 5 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 3 + x y 2 d V , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E y d V , onde E é o sólido que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , acima do plano x y e abaixo do plano z = x + 2 .