Enunciado

A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K = 1 2 m v ² . Mostre que:

∂ K ∂ m ∂ ² K ∂ v ² = K

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos disse que a energia cinética K de um corpo em movimento é dada por:

K = 1 2 m v ²

Onde m é a massa e v é a velocidade.

O enunciado quer que demonstremos a seguinte expressão:

∂ K ∂ m ∂ ² K ∂ v ² = K

Para isso, precisamos determinar a derivada parcial ∂ K ∂ m e a derivada parcial de segunda ordem de K em relação a v .

Lebrando que para resolver uma derivada parcial, devemos escolher a variável em relação à qual deseja derivar e tratar todas as outras variáveis como constantes.

Para a derivada parcial de segunda ordem, basta derivarmos duas vezes.

Depois que fizermos a derivada, vamos fazer a multiplicação de ∂ K ∂ m por ∂ ² K ∂ v ² e ver se resulta em K .

Ahh... lembre-se que a Regra da Potência é dada por:

d d x x n = n x n - 1

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para a primeira derivada, colocando a constante para fora, temos:

∂ K ∂ m = v 2 2 ⋅ ∂ ∂ m m

Aplicando a Regra da Potência, temos:

∂ K ∂ m = 1 2 v ²

Passo 3

Agora vamos derivar K em relação a v .

Colocando a constante para fora, temos:

∂ K ∂ v = 1 2 m ⋅ ∂ ∂ v v ²

Aplicando a Regra da Potência, temos:

∂ K ∂ v = 1 2 ⋅ 2 m v

∂ K ∂ v = m v

Agora vamos derivar novamente colocando a constante para fora da derivada:

∂ ² K ∂ v ² = m ∂ ∂ v v

Aplicando a Regra da Potência, temos:

∂ ² K ∂ v ² = m

Passo 4

Agora vamos multiplicar as derivadas:

∂ K ∂ m ∂ 2 K ∂ v 2 = 1 2 v 2 ⋅ m

Reorganizando, obtemos:

∂ K ∂ m ∂ 2 K ∂ v 2 = 1 2 m v ²

Portanto, provamos que:

∂ K ∂ m ∂ 2 K ∂ v 2 = K

Resposta

Demonstração

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