Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 95
A energia cinética de um corpo com massa e velocidade é . Mostre que:
Passo 1
Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos disse que a energia cinética de um corpo em movimento é dada por:
Onde é a massa e é a velocidade.
O enunciado quer que demonstremos a seguinte expressão:
Para isso, precisamos determinar a derivada parcial e a derivada parcial de segunda ordem de em relação a .
Lebrando que para resolver uma derivada parcial, devemos escolher a variável em relação à qual deseja derivar e tratar todas as outras variáveis como constantes.
Para a derivada parcial de segunda ordem, basta derivarmos duas vezes.
Depois que fizermos a derivada, vamos fazer a multiplicação de por e ver se resulta em .
Ahh... lembre-se que a Regra da Potência é dada por:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Para a primeira derivada, colocando a constante para fora, temos:
Aplicando a Regra da Potência, temos:
Passo 3
Agora vamos derivar em relação a .
Colocando a constante para fora, temos:
Aplicando a Regra da Potência, temos:
Agora vamos derivar novamente colocando a constante para fora da derivada:
Aplicando a Regra da Potência, temos:
Passo 4
Agora vamos multiplicar as derivadas:
Reorganizando, obtemos:
Portanto, provamos que:
Resposta
Demonstração