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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 27

Nos Exercícios 23-34, encontre ƒx , ƒy e ƒz.

ƒ (x , y , z) = sen^(- 1) ( x y z )

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

f_x = (del)/(del x) (sen^(- 1) ( x y z ))

Vamos usar a regra da cadeia, u = x y z

(del)/(del x) sen^(- 1) ( x y z ) = (del)/(del u) sen^(- 1) u * (del)/(del x) (x y z)

(del)/(del x) sen^(- 1) ( x y z ) = (1)/(sqrt(1 - u^2)) * y z

f_x = (y z)/(sqrt(1 - x^2 y^2 z^2))

f_x = - x (x^2 + y^2 + z^2)^(- (3)/(2))

Passo 2

Agora em y,

f_y = (del)/(del y) (sen^(- 1) ( x y z ))

Resolvendo-se da mesma maneira, a única coisa que vai mudar é que ao invés de 2x teremos 2y,

(del)/(del y) sen^(- 1) ( x y z ) = (1)/(sqrt(1 - u^2)) * x z

f_y = (x z)/(sqrt(1 - x^2 y^2 z^2))

Passo 3

E por fim, em z, do mesmo jeito,

f_z = (del)/(del z) (sen^(- 1) ( x y z ))

(del)/(del z) sen^(- 1) ( x y z ) = (1)/(sqrt(1 - u^2)) * x y

f_z = (x y)/(sqrt(1 - x^2 y^2 z^2))

Bora pro próximo.

Resposta

f_x = (y z)/(sqrt(1 - x^2 y^2 z^2)) , f_y = (x z)/(sqrt(1 - x^2 y^2 z^2)) e f_z = (x y)/(sqrt(1 - x^2 y^2 z^2))

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