Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 23
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo numa boa?
A série de Taylor é da forma:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função vezes.
Os termos da série de Taylor são do formato:
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência .
Então precisamos encontrar derivando várias vezes e substituirmos no termo geral de uma série de Taylor, aquela primeira equação desse passo 1.
Por fim, quando a gente precisar encontrar o Raio de convergência, o que precisamos achar é basicamente para quais valores de nossa série vai convergir. Como a série em questão que será uma série de Taylor e já vimos ali em cima que ela vai ter um termo fatorial, vamos usar o Teste da Razão, pois simplifica bastante nossa vida nesses casos. Relembrando o Teste: Calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ) e caso o teste é inconclusivo.
Mão na massa!
Passo 2
O enunciado nos deu que:
E que:
Agora vamos achar os valores de:
Para cada derivada de
é a ordem da derivada. Então quando temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando é a primeira derivada, quando temos a segunda derivada que é a derivada de derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.
Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma tabela. Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir , neste caso .
Passo 3
Lembra que estamos fazer isso para encontrar , né? Agora, precisamos usar esses valores para achar um termo geral de para qualquer valor de .
Vamos escrever os termos da série, dentro daquele formato que apresentamos no passo 1. Podemos escrever usando os valores das derivadas que encontramos no passo 2, temos:
Usando os dados do passo 1, temos:
Podemos achar o padrão, de forma geral para as derivadas: Vemos que a partir do termo os termos da soma seguem um certo padrão:
- Os denominadores são os valores de do termo e os expoentes das potências de , também.
- Já as derivadas são do formato tem forma de fração:
- Numerador: multiplicações dos números ímpares de 1 até , como um fatorial.
- Denominador: potência de base
Em termos de série, podemos escrever:
Passo 4
Aqui teremos:
E:
Para encontrarmos o raio de convergência da série podemos aplicar o seguinte critério, já escrevendo a divisão de grações como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda:
Abrindo termos com somas nos expoentes e o termo fatorial do denominador:
Cancelando os termos, ficamos com:
Podemos retirar o módulo dos termos que dependem de , uma vez que é sempre positivo:
Dividindo o numerador e denominador por , temos:
Como o Teste da Razão diz que para que a série seja convergente e nós temos:
Portanto, para convergência temos que
Logo .
Resposta
.