Enunciado

Enfocando conceitos

A função arc cotg ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cotangente restrita:

cotg ⁡ x ,     0 < x < π

E a função arc cossec ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cossecante restrita:

cossec ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0

Use essas definições em todos os exercícios subsequentes que envolverem essas funções.

Mostre que:

  1. arc cotg ⁡ x = arc tg ⁡ 1 x ,             s e   x > 0 π + arc tg ⁡ 1 x ,           s e   x < 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Então, bora começar com essa letra a , ok? Pra início de conversa, vamos definir, na letra a , que:

y = arc cotg ⁡ x

Como a questão diz que arco cotangente é a inversa da cotangente limitada pra 0 < x < π , acabamos pegando a imagem de y = f x . Afinal, quando invertemos uma função, domínio e imagem trocam de lado. Logo:

0 < y < π

Show, agora vamos lembrar o seguinte: y é um arco, x é um valor de cotangente. O enunciado já diz pra gente que a função é definida por partes, com x > 0 e x < 0 . Então, pra facilitar a nossa vida, seja:

cotg ⁡ α = 1 tg ⁡ α

E tendo o círculo trigonométrico:

Vemos que tg ⁡ α e cotg ⁡ α são positivas no primeiro quadrante e negativas no segundo. Como 0 < y < π , nem vamos nos preocupar com os outros quadrantes, ok? Depois desse panorama geral, nossos próximos passos vão ser olhar pros casos:

x > 0

x < 0

E ver como podemos inverter y = arc cotg ⁡ x em cada um desses casos. Partiu?

Passo 2

Se x > 0 , temos uma cotangente positiva e logo:

0 < y < π 2

Nesse caso, partindo de:

y = arc cotg ⁡ x ,     0 < y < π 2 x > 0  

Podemos inverter a função, ficando com:

x = cotg ⁡ y ,     0 < x < π 2 y > 0  

x = 1 tg ⁡ y ,     0 < x < π 2 y > 0  

tg ⁡ y = 1 x ,     0 < x < π 2 y > 0  

Invertendo a função de novo, achamos:

y = arc tg ⁡ 1 x ,     0 < y < π 2 x > 0  

Agora, se x < 0 , temos cotangente negativa. O intervalo do arco y será o segundo quadrante:

π 2 < y < π

E nesse caso, partindo de:

y = arc cotg ⁡ x ,     π 2 < y < π x < 0  

Podemos inverter a função, ficando com:

x = cotg ⁡ y ,     π 2 < x < π y < 0  

E dessa vez temos um problema ao inverter, temos que achar um arco y negativo! Pela simetria do círculo trigonométrico vemos que:

tg ⁡ α = tg ⁡ α - π ,     α < 0

Analogamente, temos que:

cotg ⁡ y = cotg ⁡ y - π ,     y < 0

Logo:

x = cotg ⁡ y - π ,     π 2 < x < π y < 0  

x = 1 tg ⁡ y - π ,     π 2 < x < π y < 0  

tg ⁡ y - π = 1 x ,     π 2 < x < π y < 0  

Invertendo a função de novo, achamos:

y - π = arc tg ⁡ 1 x ,     π 2 < y < π x < 0  

y = π + arc tg ⁡ 1 x ,     π 2 < y < π x < 0  

Show, só juntar agora as duas definições e achamos:

arc cotg ⁡ x = arc tg ⁡ 1 x ,             s e   x > 0 π + arc tg ⁡ 1 x ,           s e   x < 0

Ufa! Cabamos

Resposta

Provado no desenvolvimento

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