Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 12
Para cada uma das equações diferenciais nos problemas de 11 a 14, encontre os quatro primeiros termos não nulos em cada uma de duas soluções em série em torno da origem. Mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções. Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
Passo 1
Assumimos que a solução está na forma:
Aplicando na EDO, teremos:
Relembrando que a série de Taylor de quando é dada por:
Substituindo os valores de , teremos:
Expandindo e unindo os termos em comum , teremos:
Unino os termos em comum antes e depois da igualdade, formulamos:
Passo 2
Para encontrar resolvemos as equações acima e assumimos que resolvendo as equações:
Já que 4 termos diferentes de zero podemos dizer que :
Para encontrar resolvendo as equações e assumindo que , resolvendo as equações:
Então, podemos dizer que:
Passo 3
Com isso, podemos avaliar o Wronskiano:
Tendo e , queremos um valor em que o Wronskiano seja diferente de zero, para isso o caso mais simples é que a diagonal principal seja unitária e a diagonal secundária seja nula, para isso:
Com isso, podemos montar o Wronskiano:
Já que o Wronskiano não é nulo, temos um conjunto fundamental de soluções. Uma vez que não é igual a zero para todos os valores de raio de convergência das soluções é .
Resposta
Uma vez que não é igual a zero para todos os valores de raio de convergência das soluções é .