Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 33
Uma equação integral é uma equação que contém uma função desconhecida y(x) e uma integral que envolve y(x). Resolva a determinada equação integral. [Dica: Use uma condição inicial obtida da equação integral.]
Passo 1
Para começarmos a resolver a equação integral podemos calcular a derivada de .
No enunciado temos que o termo da integral está escrito em função de t e aqui escrevemos em função de x. Isso ocorre pois na integral precisamos diferenciar quem estamos integrando e quem é nosso limite de integração. Mas é valido lembrar que y é uma função de x e não de t.
Desta forma temos que:
Passo 2
Para encontrarmos a solução da equação diferencial podemos deixar todos os termos que depende de y de um lado da equação e todos os termos que dependem de x do outro lado da equação.
Estando seperadas as variáveis, podemos integrar ambos os lados. Sendo esta uma integral indefinida.
Passo 3
Para calcular quanto vale C precisamos de alguma condição inicial, para isso podemos olhar para os limites de integração da expressão . Esses limites de integração falam que x começa em 2 e vai até uma valor x qualquer , como queremos apenas a condição inicial então vamos utilizar .
Claculando otemos:
Sabendo quanto vale x e y, podemos agora calcular o valor de C a partir da equação:
Passo 4
Substituindo o valor de C no resultado que obtemos após a integração, encontramos a solução da equação integral.
Aplicando exponencial em ambos os lados:
Mas como sabemos que quando temos isso só ocorre quando o sinal for positivo, então: