Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 32
Se , ache . Existe algum valor de para o qual ?
Passo 1
E aiiii galera, beleza?
Nessa questão precisamos achar o divergente de :
E verificar se existe algum valor de para o qual ?
Pra mostrar essa identidade, vamos ver o que o divergente de um vetor faz.
O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor é exatamente o divergente. Desse jeito:
Para resolver vamos assumir o seguinte vetor :
e
Agora você precisa aplicar esses conceitos!
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos utilizar um vetor r qualquer:
e
Vamos começar achando o módulo de :
Assim, podemos escrever o vetor como:
Aplicando o divergente de , vamos ter:
Vamos ver agora como é cada uma das derivadas parciais. Aplicando a regra do produto em casa componente temos:
- Em :
- Em :
- Em :
Passo 3
Agora vamos substituir o resultado das derivadas na expressão de :
Agora agrupando os termos semelhantes temos:
Agora temos que descobrir o valor de que torna .
Então igualando à zero essa última expressão teremos:
O valor que torna a expressão verdadeira é .