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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 32

Se F → = r → / r p , ache d i v F → . Existe algum valor de p para o qual d i v   F → = 0 ?

Passo 1

E aiiii galera, beleza?

Nessa questão precisamos achar o divergente de F → :

F → = r → / r p

E verificar se existe algum valor de p para o qual d i v   F → = 0 ?

Pra mostrar essa identidade, vamos ver o que o divergente de um vetor faz.

O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) é exatamente o divergente. Desse jeito:

d i v   v → = ∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Para resolver vamos assumir o seguinte vetor r :

r → = x   i → + y   j → +   z   k → e r = | r |

Agora você precisa aplicar esses conceitos!

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos utilizar um vetor r qualquer:

r → = x   i → + y   j → +   z   k → e r = | r |

Vamos começar achando o módulo de r → :

r = r = x 2 + y 2 + z 2

Assim, podemos escrever o vetor F → como:

F → = r → / r p

F → = x   i → + y   j → +   z   k → x 2 + y 2 + z 2 p 2

Aplicando o divergente de F , vamos ter:

d i v   F = ∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ x x 2 + y 2 + z 2 p 2 , y x 2 + y 2 + z 2 p 2 , z x 2 + y 2 + z 2 p 2

d i v   F = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 p 2 + ∂ ∂ y y x 2 + y 2 + z 2 p 2 + ∂ ∂ z z x 2 + y 2 + z 2 p 2

Vamos ver agora como é cada uma das derivadas parciais. Aplicando a regra do produto em casa componente temos:

  • Em x :

    • ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 p 2 = x 2 + y 2 + z 2 p 2 + p x 2 x 2 + y 2 + z 2 p 2 - 1

  • Em y :

    • ∂ ∂ y y x 2 + y 2 + z 2 p 2 = x 2 + y 2 + z 2 p 2 + p y 2 x 2 + y 2 + z 2 p 2 - 1

  • Em z :

∂ ∂ z z x 2 + y 2 + z 2 p 2 = x 2 + y 2 + z 2 p 2 + p z 2 x 2 + y 2 + z 2 p 2 - 1

Passo 3

Agora vamos substituir o resultado das derivadas na expressão de ∇ ⋅ F → :

∇ ⋅ F → = x 2 + y 2 + z 2 p 2 + p x 2 x 2 + y 2 + z 2 p 2 - 1 + x 2 + y 2 + z 2 p 2 +

+ p y 2 x 2 + y 2 + z 2 p 2 - 1 + x 2 + y 2 + z 2 p 2 + p z 2 x 2 + y 2 + z 2 p 2 - 1

Agora agrupando os termos semelhantes temos:

∇ ⋅ F → = 3 x 2 + y 2 + z 2 p 2 + p x 2 + y 2 + z 2 p 2 - 1 ( x 2 + y 2 + z 2 )

∇ ⋅ F → = 3 x 2 + y 2 + z 2 p 2 + p x 2 + y 2 + z 2 p 2

Agora temos que descobrir o valor de p que torna ∇ ⋅ F → = 0 .

Então igualando à zero essa última expressão teremos:

3 x 2 + y 2 + z 2 p 2 + p x 2 + y 2 + z 2 p 2 = 0

p x 2 + y 2 + z 2 p 2 = - 3 x 2 + y 2 + z 2 p 2

p = - 3

O valor que torna a expressão ∇ ⋅ F → = 0 verdadeira é p = - 3 .

Resposta

p = - 3

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O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.d ) vec F (x , y , z) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec i + (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec j + (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec k
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O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.c ) vec F (x , y , z) = (x - y) vec i + (x + y + z) vec j + z^2 vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.vec F (x , y , z , w) = ( x , y , z , w )
Seja f :R → R uma função contínua e seja F → o campo vetorial central: F → x , y , z = f r r → r , Onde r → = x i → + y j → + z k → e r = r → . Prove que F → é conservativo.(sugestão: verifique que ∇