Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = sen(x) + sen^2(x), (0,0)

Passo 1

Faaala ae! Beleza? Bom... a questão quer que encontremos uma equação da reta tangente ao ponto 0,0 da seguinte curva:

y = s e n x + s e n 2 ( x )

Para isso, a gente tem que relembrar qual é a equação da reta tangente.

Temos que a equação da reta tangente é do formato:

y - y ₀ = m x - x ₀

Onde m é a inclinação da reta e é a primeira derivada da função aplicada no ponto pedido, y 0 e x 0 são as coordenadas do pontovamos, beleza? Bora lá!

Passo 2

Primeira coisa, é calcular a derivada, que será:

y ' = ( sen ⁡ x ) ' + ( sen 2 ⁡ x ) '

Para isso, vamos usar a regra da cadeia em sen 2 ⁡ x . Essa regrinha é dada da seguinte forma:

f g ( x ) ' = f ' g x g ' x

Onde:

f x = x 2

e

g x = sen 2 ⁡ x

Assim, aplicando na Regra da Cadeia, temos:

y ' = cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Passo 3

Show! E precisamos saber m , que é o valor da derivada no ponto ( 0,0 ) :

y ' 0,0 = cos ⁡ 0 + 2 sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 ∴

y ' 0,0 = 1

Então, m = 1 .

Passo 4

Opa, então temos tudo que precisávamos para encontrar a equação da reta tangente:

y - y ₀ = m x - x ₀

Vamos substituir:

y - 0 = 1 x - 0

y = x

Prontinho!! Só isso! 😊

Resposta

y = x

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