Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 18
Encontre a derivada da função
18.
Passo 1
Olá, amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Aqui teremos que utilizar a regra do produto e a regra da cadeia. Mas por quê? A regra do produto a gente utiliza quando temos que derivar um produto de funções. Já a regra da cadeia nós utilizamos quando temos uma função dentro de outra função.
Nessa situação a função dentro da função acontece pois temos elevados a uma potência, e a potência conta como uma função que devemos utilizar a regra da cadeia.
Passo 2
A regra do produto diz o seguinte matematicamente falando:
Eu particularmente gosto de ler isso como: “Mantenho a primeira função, derivo a segunda função, mantenho a segunda função e derivo a primeira”.
Já a regra da cadeia:
Basicamente o que ela nos diz é que devemos substituir a função interna por uma variável , depois multiplicamos pela derivada da função mais externa. Meio confuso? Prometo que vai ficar melhor quando estivermos colocando a mão na massa.
Passo 3
Bom... se a gente chamar:
E chamar:
Podemos derivar m em relação a x:
E pela regra da cadeia, a derivada de u, em relação a x:
Como , então:
Passo 4
E derivando u em relação a m:
Aí sim podemos achar:
Substituindo o m pelo seu valor original:
Vamos guardar esse resultado.
Passo 5
E agora vamos chamar:
E chamar:
Podemos derivar em relação a :
Passo 6
E pela regra da cadeia, a derivada de , em relação a :
Como , então:
E derivando em relação a :
Passo 7
Aí sim podemos achar:
Substituindo o :
Vamos guardar esse resultado também.
Passo 8
Agora vamos usar a regra da cadeia...
Como , então a derivada de g em relação a x fica:
Ufaaaa... Essa deu trabalho, viu?? Mas é só a gente ir fazendo devagar e aos poucos que dá certo, no final. E aí.. Vamos pra próxima???