Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 49
A equação representa uma família de parábolas a um parâmetro. Ache uma equação de uma outra família de curvas a um parâmetro, tal que em todo ponto haja uma curva de cada familia passando por ele e as retas tangente às duas curvas nesse ponto sejam perpendiculares. (Sugestão: mostre primeiro que a inclinação da reta tangente num ponto , que não está no eixo , da família de parábolas dada é .)
Passo 1
Vamos começar o problema utilizando a sugestão. E para isso, vamos derivar implicitamente a equação para achar a inclinação da reta tangente em um ponto .
Perceba que , então:
Passo 2
Agora vamos achar o coeficiente angular da reta tangente a outra família de curvas. A questão diz que as retas tangentes serão perpendiculares então vamos usar o fato de que se duas retas são perpendiculares com coeficientes angulares e , então .
Sendo assim, o coeficiente angular da reta tangente a outra família de curvas é .
Passo 3
Podemos escrever e se queremos achar a familia de curvas, basta integrar dos dois lados .
Logo, essa equação representa uma família de elipses a um parâmetro.