Nos Exercícios de 47 a 50, ache o valor médio da função f no intervalo [a,b]. Nos exercícios 47 e 48, ache o valor de x onde ocorre o valor médio de f e faça um esboço.

49. f(x) = 3x * raiz(x^2 - 16); [a, b] = [4,5]

Passo 1

Vamos aplicar o teorema do valor médio, fazer as continhas nesse intervalo e aí matamos a questão, ok?

Passo 2

Lembra do teorema do valor médio, ele diz o seguinte:

Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], existe um número x nesse intervalo tal que:

∫ a b f ( x ) = f ( x ) ( b - a )

Agora, nós temos f ( x ) e ( b - a ) e ao isolarmos o f ( x ) fica assim

f x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ( x )

Assim vamos calcular o valor médio de f ( x )

Passo 3

Calcular a integral de f x , a e b nós já temos, ou seja...

f x = 1 ( 5 - 4 ) ∫ 4 5 3 x x 2 - 16   d x

f x = 3 ∫ 4 5 x ( x 2 - 16 ) 1 2   d x (só tirei o 3 da integral e reescrevi a raiz)

Malandramente vamos multiplicar por 2 dentro da integral e dividir fora, ou seja, o valor não vai mudar, mas vai ajudar na substituição

f x = 3 2 ∫ 4 5 2 x ( x 2 - 16 ) 1 2   d x

Passo 4

Agora, vamos invocar u = x 2 - 16 para fazer uma substituição. E d u = 2 x d x ou d x = d u / 2 x

Jogando na integral...

∫ 2 x ( u ) 1 2   d u 2 x

Resolver a integral agora em u é mais simples né?

∫ ( u ) 1 2   d u = ( u ) 3 2 3 2

Passo 5

Voltar para x e finalmente calcular f ( x ) no intervalo de 4 a 5...

u = x 2 - 16

f x = 3 2 ( x 2 - 16 ) 3 2 3 2 4 5 = 9 3 2 - 0 = 27

Pronto

Resposta

f x = 27

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