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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 4b

  1. Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é

L d i d t + R i = E t

Onde L (henry) é a indutância, R (ohms) é a resistência, i (ampère) é a corrente e E (volt) a força eletromotriz.

  1. Resolva 1 supondo L   =   2 , R   =   10 , E t = 110 s e n ( 120 π t ) e i   =   0 para t   =   0 .

Passo 1

Nossa expressão é:

L d i d t + R i = E t

a) Nesse primeiro caso, temos o seguinte:

E t = 110 s e n ( 120 π t )

Logo,

L d i d t + R i = 110 s e n ( 120 π t )

Para resolvermos uma EDO 1º ordem não homogênea, fazemos o seguinte:

  1. Deixamos a EDO no seguinte formato :

    2. d x d t + a x = f t

    Então, dividindo nossa expressão por L :

    d i d t + R L i = 110 s e n ( 120 π t ) L

  2. Agora vamos calcular o fator integrante:

    3. g x = e ∫ a d t

    Assim,

    g x = e ∫ R L d t

    Não esquece: ∫ e a x d x = e a x a + k

    Portanto,

    g x = L R e R L t

    Passo 2

  3. Por último, multiplicamos a EDO por g ( x ) e finalizamos!

d i d t + R L i = E 0 L

Multiplicando por g ( x ) :

L R e R L t d i d t + L R e R L t R L i = L R e R L t   110 s e n ( 120 π t ) L

Isto é,

L R e R L t d i d t + e R L t i = e R L t   110 s e n ( 120 π t ) R

A ideia de fazer isso é que o nosso lado esquerdo sempre fica o seguinte:

L R e R L t d i d t + e R L t i = L R e R L t i '

Então temos o seguinte:

L R e R L t i ' = e R L t   110 s e n ( 120 π t ) R

Aplicando a integral:

L R e R L t i = ∫ e R L t   110 s e n ( 120 π t ) R d t

Tirando as constantes da integral e substituindo que L   =   2 e R   =   10 : 1 5 e 5 t i = 11 ∫ e 5 t   s e n ( 120 π t ) d t     ( i )

Calculando a integral:

I = ∫ e 5 t   s e n ( 120 π t ) d t  

Para resolver essa integral, vamos integrar por partes.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Considere o seguinte:

u = s e n ( 120 π t ) e d v = e 5 t d t

Logo,

d u = 120 π cos ⁡ 120 π t e v = e 5 t 5

Usando integração por partes:

∫ e 5 t   s e n ( 120 π t ) d t = s e n ( 120 π t ) e 5 t 5   - ∫ e 5 t 5 120 π cos ⁡ 120 π t

Isto é,

∫ e 5 t   s e n ( 120 π t ) d t = s e n ( 120 π t ) e 5 t 5   - 24 π ∫ e 5 t cos ⁡ 120 π t d t

Passo 2

Agora vamos calcular:

∫ e 5 t cos ⁡ 120 π t d t

Integrando novamente por partes:

u = cos ⁡ 120 π t e d v = e 5 t d t

Assim,

d u =   - 120 π s e n 120 π t d t e v = e 5 t 5

Vamo que ta acabando!!

∫ e 5 t cos ⁡ 120 π t d t =   cos ⁡ 120 π t e 5 t 5 - ∫ - e 5 t 5 120 π s e n 120 π t d t

Arrumando as coisas:

∫ e 5 t cos ⁡ 120 π t d t =   cos ⁡ 120 π t e 5 t 5 + 24 π ∫ e 5 t s e n 120 π t d t     ( i i )

Voltando para nossa integral:

∫ e 5 t   s e n ( 120 π t ) d t = s e n 120 π t e 5 t 5   - 24 π ∫ e 5 t cos ⁡ 120 π t d t   ( i i i )

Substituindo ( i i ) em ( i i i ) :

∫ e 5 t   s e n 120 π t d t =

= s e n 120 π t e 5 t 5   - 24 π cos ⁡ 120 π t e 5 t 5 + 24 π ∫ e 5 t s e n 120 π t d t + k

Assim,

1 + 24 π 2 ∫ e 5 t   s e n 120 π t d t = s e n 120 π t e 5 t 5   - 24 π cos ⁡ 120 π t e 5 t 5 + k

Fazendo as contas:

∫ e 5 t   s e n 120 π t d t = s e n 120 π t e 5 t   - 24 π cos ⁡ 120 π t e 5 t 5 + 2880 π 2 + k

Substituindo em ( i ) :

1 5 e 5 t i = 11 × s e n 120 π t e 5 t   - 24 π cos ⁡ 120 π t e 5 t 5 + 2880 π 2 + k

Isolando i :

i ( t ) = 11 s e n 120 π t e 5 t   - 264 π cos ⁡ 120 π t e 5 t 1 + 576 π 2 + k e - 5 t

Para acabar, basta acharmos o k . Para isso, vamos usar que i 0 = 0 . Logo,

0 = 0   - 264 π × 1 1 + 576 π 2 + k × 1

Assim,

k = 264 π 1 + 576 π 2

Entoa o i ( t ) fica o seguinte:

i t = 1 1 + 576 π 2 11 s e n 120 π t   - 264 π cos ⁡ 120 π t + e - 5 t

Resposta

i t = 1 1 + 576 π 2 11 s e n 120 π t   - 264 π cos ⁡ 120 π t + e - 5 t

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