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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 3

Determine um plano que seja tangente à superfície x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 = 11 6 e paralelo ao plano x + y + z = 10 .

Passo 1

O problema pede para acharmos a equação do plano tangente à superfície x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 = 11 6 e que seja paralelo ao plano x + y + z = 10 .

Para resolver esse problema, podemos tomar a superfície dada como uma superfície de nível da função

f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 - 11 6

Assim, o gradiente de f (que é ortogonal às superfícies de nível) será paralelo ao vetor normal do plano tangente. Tomando o gradiente:

∇ f x , y , z = ( 2 x , 6 y , 4 z )

Passo 2

Como o plano que queremos achar deve ser paralelo ao plano x + y + z = 10 , os dois planos podem ter o mesmo vetor normal. Assim, tomaremos n → = ( 1,1 , 1 ) .

Para encontrar o ponto de tangência ( x 0 , y 0 , z 0 ) , basta fazer

∇ f x 0 , y 0 , z 0 = t   n →

Assim,

x 0 , 3 y 0 , 2 z 0 = t , t , t

Logo,

x 0 = t ,     y 0 = t 3 ,               z 0 = t 2

Como este ponto que procuramos deve estar contido na superfície, vamos substituir essas relações na equação da superfície:

t 2 + 3 ⋅ t 2 9 + 2 ⋅ t 2 4 = 11 6

Logo,

6 t 2 + 2 t 2 + 3 t 2 6 = 11 6 ⇒ t 2 = 1 ⇒ t = ± 1

Temos então dois pontos possíveis:

- 1 ,   - 1 3 ,   - 1 2         e         1 , 1 3 , 1 2

Passo 3

A equação de um plano é dada por

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim

x ± 1 , y ± 1 3 , z ± 1 2 ⋅ 1 ,   1 ,   1 = 0

Desta forma,

x ± 1 + y ± 1 3 + z ± 1 2 = 0

Portanto,

x + y + z = ∓ 11 6

O problema admite duas respostas: existem dois planos tangente à superfície dada e que seja paralelo ao plano x + y + z = 10 .

Resposta

x + y + z = ∓ 11 6

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Seja U x , y = 2 x 2 + 1 2 y 2 a função energia potencial associada ao campo F → . Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição ( 1,1 ) com velocidade nula. Admita que F → é a única força atuando
Determine todas as funções f : R 2 → R tais que a) ∂ f ∂ x = 9 x 2 y 2 - 10 x , ∂ f ∂ y = 6 x 3 y + 1 b) ∂ f ∂ x = y c o s x y + 3 x 2 - y, ∂ f ∂ y = x c o s x y - x + 3 y 2 c) ∂ f ∂ x = 2 x e x 2 + y
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
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