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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 20

Uma pérola no xampu. Suponha que uma pérola esteja afundando em um líquido denso, como xampu, sujeita a uma força de atrito oposta à sua queda e proporcional à sua velocidade. Suponha que também exista uma força de empuxo exercida pelo xampu. De acordo com o princípio de Arquimedes, a força de empuxo é igual ao peso do líquido deslocado pela pérola. Usando m para a massa da pérola e P para a massa do xampu deslocada pela pérola enquanto ela afunda, execute as etapas a seguir.

  1. Faça um diagrama esquemático em que sejam mostradas as forças que agem sobre a pérola enquanto ela afunda, como o que vemos na Figura 9 .19.
  2. Usando v ( t ) para a velocidade da pérola em função do tempo t , escreva uma equação diferencial que modele a velocidade da pérola como a de um corpo em queda.
  3. Construa uma reta de fase em que sejam mostrados os sinais de v ' e v " .
  4. Esboce curvas integrais típicas.
  5. Qual é a velocidade terminal da pérola?

Passo 1

O diagrama de corpo livre que ilustra a situação problema é

Onde,

F e m p u x o = P g ,

a = d v d t ,

F r e s i s t ê n c i a = k v

P e s o → W = m g

Passo 2

Usando a segunda lei de Newton e somando as forças na direção da aceleração teremos

m g - P g - k v = m a → d v d t = m - P m ⋅ g - k v m

Passo 3

Achando os pontos de equilíbrio, teremos

m - P m ⋅ g - k v m = 0

m - P m ⋅ g = k v m

m - P ⋅ g = k v

v t e r m i n a l = m - P ⋅ g k

Analisando a concavidade (segunda derivada) teremos

d 2 v d t 2 =   - k m ⋅ d v d t =   - k m 2 ⋅ m - P ⋅ g k - v

Dessa forma, nossa reta de fase será dada por

Passo 4

A curva integral será dada por uma curva que tende a crescer até o valor da velocidade terminal que será uma reta horizontal assintótica

Passo 5

A velocidade terminal da pérola é dada por

v t e r m i n a l = m - P ⋅ g k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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