Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 29
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação.
Passo 1
Para resolvermos, vamos e analisar rearranjar a equação, quando necessário na forma
onde poderemos utilizar a forma do wronskiano em que aparece a integral, escrito da seguinte forma
Passo 2
Aplicando o método mostrado no passo 1, temos que não será necessário nem reorganizar nossa EDO, conseguimos identificar perfeitamente nosso . Substituindo no wronskiano, temos então que:
E esse é o nosso wronskiano a menos de uma constante
Resposta
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Suponha que y 1 e y 2 formem um conjunto fundamental de soluções de y ' ' + p t y ' + q t y = 0 e sejam y 3 = a 1 y 1 + a 2 y 2 , y 4 = b 1 y 1 + b 2 y 2 , em que a 1 , a 2 , b 1 e b 2 são constantes
Verifique se y 1 t = t 2 e y 2 t = t - 1 são duas soluções da equação diferencial t 2 y ' ' - 2 y = 0 para t0 . Depois mostre que c 1 t 2 + c 2 t - 1 também é solução essa equação quaisquer que sejam
Se W ( f , g ) é o wronskiano de f e g e se u = 2 f - g , v = f 2 g , encontre o wronskiano de u e v em função de W ( f , g ) .
Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.23. y ' ' + 4 y ' + 3 y = 0 , t 0 = 1 .
No método de Picard, a escolha inicial y 0 x = y 0 não é necessária. Refaça o Problema 3 com (a) y 0 x = k uma constante e k ≠ 1 e (b) y 0 x = x .