Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y1 e y₂ são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

(1 - x ⋅ cot(x)) ⋅ y'' - x ⋅ y' + y = 0, 0 < x < pi; y1(x) = x, y2(x) = sen(x)

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar cada possível solução e após isso calcularemos o Wronskiano para verificar se as soluções constituem um conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

Bom, pra começar vamos analisar y 1 = x . Se derivarmos duas vezes e substituirmos todos os valores na equação vamos chegar que

1 - x ⋅ cot ⁡ x ⋅ 0 - x ⋅ 1 + x = 0

- x + x = 0

Assim, y 1 = x é uma solução. Agora para y 2 = sin ⁡ x , temos que

- 1 - x ⋅ cot ⁡ x ⋅ sin ⁡ x - x ⋅ cos ⁡ x + sin ⁡ x = 0

- 1 - x ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ x - x ⋅ cos ⁡ x + sin ⁡ x = 0

- sin ⁡ x + x ⋅ cos ⁡ x - x ⋅ cos ⁡ x + sin ⁡ x = 0

Sendo também uma solução. Agora para verificar se constituem um conjunto fundamental de soluções, vamos calcular o Wronskiano e se ele der diferente de zero o conjunto sera um fundamental.

W x , sin ⁡ x = f 1 x f 2 x f 1 ' x f 2 ' x = x sin ⁡ x 1 cos ⁡ x )

Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que

x ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x

Que não é zero para o intervalo dado, assim temos que o Wronskiano da nossa equação é W = x ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x e as soluções formam um conjunto fundamental.

Resposta

Sim

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