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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 27

Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

1 - x ⋅ cot ⁡ x ⋅ y ' ' - x ⋅ y ' + y = 0 ,     0 < x < π ;     y 1 x = x ,     y 2 x = sin ⁡ x

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar cada possível solução e após isso calcularemos o Wronskiano para verificar se as soluções constituem um conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

Bom, pra começar vamos analisar y 1 = x . Se derivarmos duas vezes e substituirmos todos os valores na equação vamos chegar que

1 - x ⋅ cot ⁡ x ⋅ 0 - x ⋅ 1 + x = 0

- x + x = 0

Assim, y 1 = x é uma solução. Agora para y 2 = sin ⁡ x , temos que

- 1 - x ⋅ cot ⁡ x ⋅ sin ⁡ x - x ⋅ cos ⁡ x + sin ⁡ x = 0

- 1 - x ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ x - x ⋅ cos ⁡ x + sin ⁡ x = 0

- sin ⁡ x + x ⋅ cos ⁡ x - x ⋅ cos ⁡ x + sin ⁡ x = 0

Sendo também uma solução. Agora para verificar se constituem um conjunto fundamental de soluções, vamos calcular o Wronskiano e se ele der diferente de zero o conjunto sera um fundamental.

W x , sin ⁡ x = f 1 x f 2 x f 1 ' x f 2 ' x = x sin ⁡ x 1 cos ⁡ x )

Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que

x ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x

Que não é zero para o intervalo dado, assim temos que o Wronskiano da nossa equação é W = x ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x e as soluções formam um conjunto fundamental.

Resposta

Sim

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Mostre graficamente que f 1 x = x 2ef 2 x = x | x | são linearmente independentes em - ∞ ,∞ . Mostre que W f 1 x ,f 2 x = 0 para todo número real.
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Responda aos problemas 1-10 sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso. Em alguns casos, pode haver mais de uma resposta correta.4. As funções f 1 x = x 2 ,f 2 x = 1 - x 2
Responda aos problemas 1-10 sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso. Em alguns casos, pode haver mais de uma resposta correta.5. As funções f 1 x = x 2 e f 2 x = x são