Equações de Laplace. Seja , onde , e . Mostre que satisfaz a equação de Laplace se todas as funções necessárias forem diferenciáveis.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vamos lá!
Relembrando que para uma função , a equação de Laplace é:
Ou:
Para satisfazer, podemos dizer que:
Pelo nosso diagrama de árvore:
Conseguimos definir nossas derivadas de segunda ordem pela Regra da Cadeia:
Então:
Passo 2
Sendo assim, para . As derivadas de primeira e segunda ordem são:
E para :
Passo 3
Substituindo os valores encontrados na equação do Passo 1:
Então podemos dizer que satisfaz a equação de Laplace:
Prontinho pessoal, te espero em breve para fazermos mais exercícios juntos!
Resposta
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