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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 18

Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.

∂ w ∂ x e ∂ w ∂ y para w = g u ,   v , u = h x ,   y , v = k x ,   y

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia de uma variável independente e duas variáveis intermediárias.

Se w = f x ,   y é diferenciável e se x = x t , y = y t forem funções deriváveis de t , então a composta w = f x t ,   y t será uma função derivável de t :

d w d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

O diagrama de árvore na margem propõe uma maneira conveniente de se lembrar da regra da cadeia. A “verdadeira” variável independente na função composta é t , enquanto x e y são variáveis intermediárias (controladas por t ) e z é a variável dependente.

De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:

Passo 2

Sabendo disso, como temos duas variáveis independentes, teremos 2 diagramas de árvore, o primeiro que iremos fazer, é referente a x :

Sendo assim, a fórmula para a Regra da Cadeia para ∂ w / ∂ x :

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ w ∂ v ∂ v ∂ x

Passo 3

E referente a y , temos o seguinte diagrama:

Sendo assim, a fórmula para a Regra da Cadeia para ∂ w / ∂ y :

∂ w ∂ y = ∂ w ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ w ∂ v ∂ v ∂ y

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ w ∂ v ∂ v ∂ x

∂ w ∂ y = ∂ w ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ w ∂ v ∂ v ∂ y

Exercícios de Livros Relacionados

Se f (u , v , w) é diferenciável e u = x - y , v = y - z e w = z - x , mostre que(del f)/(del x) + (del f)/(del y) + (del f)/(del z) = 0
Assuma que w = f (s^3 + t^2) e f^' (x) = e^x . Encontre (del w)/(del t) e (del w)/(del s) .
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. ∂ w ∂ r e ∂ w ∂ s para w = f x ,y , x = g r , y = h s
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. ∂ w ∂ s e ∂ w ∂ t para w = g u , u = h s ,t
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. ∂ y ∂ r para y = f u , u = g r ,s