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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 40

Assuma que w = f (t s^2 + (s)/(t)) e (del f)/(del x) (x , y) = x y e (del f)/(del y) (x , y) = (x^2)/(2) . Encontre (del w)/(del t) e (del w)/(del s) .

Passo 1

Oi pessoal, primeiramente, pelo enunciado conseguimos identificar que:

{[[x = t s^2],[y = (s)/(t)]])

Pelo nosso diagrama de árvore, temos:

E pela Regra da cadeia:

Passo 2

Como x = t s^2 , logo:

{[[(del x)/(del t) = s^2],[(del x)/(del s) = 2 s t]])

E y = s // t :

{[[(del y)/(del t) = - (s)/(t^2)],[(del y)/(del s) = (1)/(t)]])

Passo 3

Do enunciado, temos:

(del w)/(del x) = (del f)/(del x) = x y = t s^2 * (s)/(t)

(del w)/(del x) = s^3

E para y :

(del w)/(del y) = (del f)/(del y) = (x^2)/(2) = ((t s^2)^2)/(2)

(del w)/(del y) = (t^2 s^4)/(2)

Passo 4

Substituindo nas equações, encontramos nossas derivadas:

(del w)/(del t) = s^3 * s^2 + (t^2 s^4)/(2) * (- (s)/(t^2))

= s^5 - (s^5)/(2) = (2 s^5 - s^5)/(2)

(del w)/(del t) = (s^5)/(2)

(del w)/(del s) = s^3 * 2 s t + (t^2 s^4)/(2) * (1)/(t)

= 2 t s^4 + (t s^4)/(2) = (4 t s^4 + t s^4)/(2)

(del w)/(del s) = (5 t s^4)/(2)

Resposta

(del w)/(del t) = (s^5)/(2) , (del w)/(del s) = (5 t s^4)/(2) .

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Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t : z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 , x = e t , y = e - t .
Este exercício nos dá um exemplo de que a regra da cadeia não se aplica quando a função f x , y não é diferenciavel.Considera a função f x , y = x y 2 x 2 + y 2, x , y ≠ ( 0,0 ) 0, x , y = 0,0 Mostre
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