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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 16

Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.

∂ w ∂ x e ∂ w ∂ y para w = f r ,   s ,   t , r = g x ,   y , s = h x ,   y , t = k x ,   y

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia de uma variável independente e duas variáveis intermediárias.

Se w = f x ,   y é diferenciável e se x = x t , y = y t forem funções deriváveis de t , então a composta w = f x t ,   y t será uma função derivável de t :

d w d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

O diagrama de árvore na margem propõe uma maneira conveniente de se lembrar da regra da cadeia. A “verdadeira” variável independente na função composta é t , enquanto x e y são variáveis intermediárias (controladas por t ) e z é a variável dependente.

De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:

Passo 2

Sabendo disso, como temos duas variáveis independentes, teremos 2 diagramas de árvore, o primeiro que iremos fazer, é referente a x :

Sendo assim, a fórmula para a Regra da Cadeia para ∂ w / ∂ x :

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ r ∂ r ∂ x + ∂ w ∂ s ∂ s ∂ x + ∂ w ∂ t ∂ t ∂ x

Passo 3

E referente a y , temos o seguinte diagrama:

Sendo assim, a fórmula para a Regra da Cadeia para ∂ w / ∂ y :

∂ w ∂ y = ∂ w ∂ r ∂ r ∂ y + ∂ w ∂ s ∂ s ∂ y + ∂ w ∂ t ∂ t ∂ y

Resposta

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ r ∂ r ∂ x + ∂ w ∂ s ∂ s ∂ x + ∂ w ∂ t ∂ t ∂ x

∂ w ∂ y = ∂ w ∂ r ∂ r ∂ y + ∂ w ∂ s ∂ s ∂ y + ∂ w ∂ t ∂ t ∂ y

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Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t . z = sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ y x = π t,y = t
Use a Regra da Cadeia para determinar d z d t ou d w d t . z = t g - 1 x y x = e t y = 1 - e - t
Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t w = l nx ² + y ² + z ² ² ² ²