Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 38

As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E → e o magnético H → , quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:

d i v   E → = 0               d i v   H → = 0

r o t   E → = - 1 c ∂ H → ∂ t                 r o t   H → = 1 c ∂ E → ∂ t

Onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:

  1. ∇ × ∇ × E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²
  2. ∇ × ∇ × H → = - 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²
  3. ∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ ² E → ∂ t ² (Sugestão: use o exercício 29 . )
  4. ∇ 2 H → = 1 c 2 ∂ ² H → ∂ t ²

Passo 1

Oi galera, tudo bem?

Quando as equações de Maxwell variam no tempo, temos as seguintes relações entre o campo elétrico E → e o magnético H → :

d i v   E → = 0               d i v   H → = 0

r o t   E → = - 1 c ∂ H → ∂ t                 r o t   H → = 1 c ∂ E → ∂ t

Onde c é a velocidade da luz.

Com base nisso, devemos demonstrar:

  1. ∇ × ∇ × E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²
  2. ∇ × ∇ × H → = - 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²
  3. ∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ ² E → ∂ t ² (Sugestão: use o exercício 29 . )
  4. ∇ 2 H → = 1 c 2 ∂ ² H → ∂ t ²

Antes precisamos lembrar o que o divergente, o laplaciano, rotacional e o gradiente de um vetor fazem.

O operador nabla ∇ (que é um vetor de derivadas em x ,   y   e   z ), quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) , temos o divergente:

d i v   v → = ∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Já o laplaciano de um vetor retorna um vetor, desse jeito:

∇ 2 v → = ∂ 2 a ∂ x 2 + ∂ 2 a ∂ y 2 + ∂ 2 a ∂ z 2 i → + ∂ 2 b ∂ x 2 + ∂ 2 b ∂ y 2 + ∂ 2 b ∂ z 2 j → + ∂ 2 c ∂ x 2 + ∂ 2 c ∂ y 2 + ∂ 2 c ∂ z 2 k →

O rotacional é escrito como:

r o t   F = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c

Aplicando o determinante em, vamos ter:

r o t   F = ∂ c ∂ y - ∂ b ∂ z i ^ + ∂ a ∂ z - ∂ c ∂ x j ^ + ∂ b ∂ x - ∂ a ∂ y k ^

E por fim, o gradiente de uma função escalar b retorna um vetor:

∇ b = ∂ b ∂ x i → + ∂ b ∂ y j → + ∂ b ∂ z k →

Agora ficou moleza essa questão! É só usar esses conceitos!

Bora lá!

Passo 2

Item (a):

∇ × ∇ × E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²

A equação r o t   E → = - 1 c ∂ H → ∂ t temos:

∇ × E → = - 1 c ∂ H → ∂ t

Aplicando o rotacional dos dois lados temos:

∇ × ∇ × E → = ∇ × - 1 c ∂ H → ∂ t = - 1 c ∂ ( ∇ × H → ) ∂ t  

Agora usando r o t   H → = 1 c ∂ E → ∂ t no lado direito:

∇ × ∇ × E → = - 1 c   ∂ ∂ t - 1 c ∂ E → ∂ t = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²

Repare que foi apenas manipulação algébrica, não tem nada além disso.

Passo 3

Para o item (b):

∇ × ∇ × H → = - 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²

Sabemos que:

r o t   E → = - 1 c ∂ H → ∂ t

r o t   H → = 1 c ∂ E → ∂ t

Novamente, aplicando rotacional em ambos os lados dessa expressão:

r o t   H → = 1 c ∂ E → ∂ t

Temos:

∇ × ∇ × H → = ∇ × 1 c ∂ E → ∂ t

Manipulando temos:

∇ × ∇ × H → = 1 c ∂ ∂ t ∇ × E →

Como sabemos o rotacional de E → , vamos ter que:

∇ × ∇ × H → = 1 c ∂ ∂ t - 1 c ∂ E → ∂ t

∇ × ∇ × H → = - 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²

Observe, que novamente apenas manipulamos as equações substituindo uma na outra.

Passo 4

Item (c):

∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ ² E → ∂ t ²

No Exercício 29 verificamos que a seguinte identidade é válida:

∇ 2 F → = ∇ ∇ ⋅ F → - ∇ × ( ∇ × F → )

Em outras palavras, temos que o laplaciano de F é igual a:

r o t   r o t   F → = g r a d d i v   F → - ∇ 2 F →

Aplicando para o campo E → , temos:

r o t   r o t   E → = g r a d d i v   E → - ∇ 2 E →

∇ 2 E → = ∇ ∇ ⋅ E → - ∇ × ( ∇ × E → )

Observe que foi proposital escrever em duas formas distintas, isso é para você se acostumar com a escrita. Pois isso pode variar de exercício para exercício.

Mas como ele falou no enunciado que:

d i v   E → = ∇ ⋅ E → = 0

Temos:

∇ 2 E → = - ∇ × ( ∇ × E → )

E do item (a), vimos que:

∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²

Assim concluímos que está correto a igualdade.

Passo 5

Item (d):

∇ 2 H → = 1 c 2 ∂ ² H → ∂ t ²

Aqui vamos utilizar a mesma ideia do item (c).

Temos a seguinte identidade:

r o t   r o t   H → = g r a d d i v   H → - ∇ 2 H →

∇ 2 H → = ∇ ∇ ⋅ H → - ∇ × ( ∇ × H → )

Aplicando para o campo H → , vamos ter:

∇ 2 H → = ∇ ∇ ⋅ H → - ∇ × ( ∇ × H → )

Mas como o:

d i v   H → = ∇ ⋅ H → = 0

Temos:

∇ 2 H → = - ∇ × ( ∇ × H → )

E no item (a) verificamos que:

∇ 2 H → = 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²

Logo concluímos que está correto a igualdade.

Resposta

São verdadeiras!

  1. ∇ × ∇ × E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²
  2. ∇ × ∇ × H → = - 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²
  3. ∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ ² E → ∂ t ²
  4. ∇ 2 H → = 1 c 2 ∂ ² H → ∂ t ²
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4 g ( x , y , z ) = x y + y z + x z
Dê uma fórmula F = M(x, y)i + N(x, y)j para o campo vetorialno plano que tem as seguintes propriedades: F = 0 em (0, 0) eem qualquer outro ponto (a, b), F é tangente à circunferênciax2 + y2 = a2 + b2
Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4. f ( x , y , z ) = l n ⁡ x 2 + y 2 + z 2
Quais campos nos Exercícios 1-6 são conservativos e quais não são? F = - y i + x j
Quais campos nos Exercícios 1-6 são conservativos e quais não são? F = ( z + y ) i + z j + ( y + x ) k