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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 27-b

27 . (a) Resolva a equação de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1.(b) Mostre que, se n ≠ 0 e n ≠ 1, então a substituição υ = y1–n reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Esse método de solução foi encontrado por Leibniz em 1696.

Passo 1

Antes de começarmos tenho que dizer que resolver as equações de bernoulli tem um grau maior de dificuldade que as equação separáveis, se não estiver acostumado com o método de resolução temos uma seção incrível de teoria no nosso site 😉. Bem uma equação de bernoulli tem o seguinte formato

y ' + p t y = q t y n

E para resolver vamos usar o método do termo integrante!!! Em geral a equação solução tem a seguinte cara

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é

I t = e ∫ P t d t

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 2

b. Neste caso se temos   n ≠ 1   o u   n ≠ 0 logo teremos que fazer o seguinte truque, temos essa equação

y ' + p t y = q t y n

Vamos dividir tudo por y n

y ' y n + p t y y n = q t y n y n

y - n y ' + p t y 1 - n = q t

Agora faremos uma substituição

v = y 1 - n

v ' = 1 - n y n ⋅ y '

Assim nossa equação fica

1 1 - n v ' + p v = q

OU ajeitando um pouco

v ' + p v 1 - n = q 1 - n

Prontinho conseguimos manipular uma equação difícil e colocar no formato de Homogênea, algo que podemos resolver simplesmente com o Método do Fator Integrante!!

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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