Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 10
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto aqui!! A gente quer esboçar a seguinte curva e calcular a área dela:
Lembra de como encontramos a área de uma curva polar?? Assim, olha:
A gente vai determinar os limites de integração ao analisar seu gráfico, certinho?? Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos plotar o nosso gráfico... mas vamos começar assim: primeiramente vamos plotar no plano cartesiano para entendermos melhor, certinho??
A nossa curva será muito parecida com a curva do seno.
Mas, analisando a diferença entre as duas, temos que a nossa tem uma soma em uma unidade (o que faz “subir” o gráfico em uma unidade) e o seno está negativo (o que faz ele inverter).
Assim, temos:
Passando para o plano polar, podemos ver que ele sai do ponto e vai para o ponto com uma amplitude baixa, assim:
Agora, passando para o ponto o nosso gráfico tem esse mesmo comportamento:
Vemos que nosso gráfico terá amplitude máxima em , veja:
E percebemos que até temos o mesmo comportamento. Assim, nossa curva final é dada da seguinte forma:
Passo 3
Agora vamos calcular nossa área!!
Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornece extamente a área da curva.
Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.
Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico.
A linha que forma a fronteira do gráfico começa em (0, e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo .
Passo 4
Aplicando os limites de integração e substituindo , obtemos:
Fazendo o produto notável, temos:
Podemos usar a propriedade trigonométrica:
Resolvendo a integral, temos:
Aplicando os limites de ntegração:
Resposta
