Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 34

Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados.

34. x = l n ( s e c t + t g   t ) ,   y = c o s   t ,   0 ≤ t ≤ π / 3 ,   e i x o   x

Passo 1

E aí, pessoal! Preparados? Vamos lá!

Basicamente, o que temos que fazer nessa questão é calcular a área da superfície gerada girando as curva

x = l n ( s e c t + t g   t ) ,   y = c o s   t ,   0 ≤ t ≤ π / 3 ,   e i x o   x

em torno do eixo x . Para isso, vamos usar a fórmula

S = ∫ 0 π / 3 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Lembrando que essa é a fórmula para quando a curva é girada em torno do eixo x . Se for em torno do eixo y , a gente troca y por x na fórmula da área.

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

d x d t = d d t [ l n ( s e c t + t g   t ) - s e n   t ] =   1 s e c t   +   t g   t d d t ( s e c t + t g   t ) - c o s t  

d x d t =   t g   t   s e c t   +   s e c 2 t s e c t   +   t g   t - c o s t =   ( s e c t   +   t g   t )   s e c t s e c t   +   t g   t - c o s t = s e c t - c o s t  

d y d t = d d t ( c o s   t ) =   - s e n   t  

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = ( s e c t - c o s t ) 2 + s e n 2 t = s e c 2 t - s e c t c o s t + c o s 2 t + s e n 2 t  

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = s e c 2 t - s e c t c o s t + c o s 2 t + s e n 2 t  

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = s e c 2 t - 1 + 1   = s e c   t

onde usamos c o s 2 t + s e n 2 t = 1 e s e c t c o s t = c o s   t /   c o s   t   = 1 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral

S = ∫ 0 π / 3 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t   = ∫ 0 π / 3 2 π ⋅ c o s   t ⋅ s e c   t   d t

Lembrando, novamente, que s e c t c o s t = c o s   t /   c o s   t   = 1 , então ficamos com

⇒ S = 2 π ∫ 0 π / 3 d t

⇒ S = 2 π t | 0 π / 3  

⇒ S = 2 π ( π / 3 - 0 )   = 2 π 2 3

Gostou de resolver essa questão comigo? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

S = 2 π 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

21. Encontre a área sob um arco da ciclóide: x = a ( t - s e n t ) , y = a ( 1 - c o s t ) .
Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados.31. x = c o st ,y = 2 + s e nt ,0 ≤ t ≤ 2 π ,e i x ox
24. Encontre a área sob y = x 3 sobre [ 0,1 ] utilizando as seguintes parametrizações.a) x = t 2 ,y =t 6 . b) x = t 3 ,y =t 9 .
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.26. x = t 3 ,y = 3 t 2 / 2 ,0 ≤ t ≤ 3
Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 definem x e y implicitamente como funções deriváveis x = f ( t ) ,y = g ( t ) , encontre o coeficiente angular da curva x = f ( t ) ,y = g ( t ) no valor