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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 37

Encontre as coordenadas do centróide da curva:

x = c o s t + t s e n t , y = s e n t - t c o s t , 0 <= t <= pi // 2 .

Passo 1

Fala, galera! Estão confusos com esse negócio de centróide? Então vem comigo que a gente vai tentar entender isso melhor.

O centróide nada mais que o centro geométrico de um corpo, nesse caso, de uma curva. Quando esse corpo tem um formato bem regular, esse centro é fácil de calcular. Por exemplo, o centróide de uma esfera uniforme é o próprio centro da esfera. O centróide de uma reta uniforme é o ponto médio da reta. Mas, às vezes, a geometria do corpo é um pouquinho mais complicada e temos que usar a fórmula

overset(̄)(x) = (M_y)/(M) , overset(̄)(y) = (M_x)/(M)

onde

M = int_0^(pi // 2) d m

é a massa da curva e

M_x = int_()^() overset(tilde)(y) d m , M_y = int_()^() overset(tilde)(x) d m

são os momentos da curva em relação a x e y .

Aqui, nós já usamos o intervalo dado no enunciado e d m é a massa de um elemento infinitesimal da curva. Para saber que massa é essa, temos que multiplicar a densidade de massa da curva pelo seu comprimento infinitesimal. Vamos considerar que a densidade é delta = 1 , então

d m = 1 * d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Então, a gente retorna para uma fórmula parecida com a de cálculo de comprimento da curva

M = int_0^(pi // 2) sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Passo 2

Para usar a fórmula do Passo 1, a primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

(d x)/(d t) = (d)/(d t) ( c o s t + t s e n t ) = - s e n t + s e n t + t c o s t = t c o s t

(d y)/(d t) = (d)/(d t) ( s e n t - t c o s t ) = c o s t - c o s t + t s e n t = t s e n t

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) = sqrt(( t c o s t )^2 + ( t s e n t )^2) = sqrt(t^2 ( c o s^2 t + s e n^2 t )) = t ,

onde utilizamos o fato de que c o s^2 t + s e n^2 t = 1 . Logo, temos que

d m = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t = t d t

Passo 3

Agora, calculamos a integral

M = int_0^(pi // 2) d m = int_0^(pi // 2) t d t

=> M = [(t^2)/(2)]_0^(pi // 2) = (1)/(2) (pi^2)/(4) = (pi^2)/(8)

=> M = (pi^2)/(8)

Passo 4

Agora que temos a massa da curva, temos que calcular os momentos da curva ( d m = t d t ):

M_x = int_()^() overset(tilde)(y) d m = int_0^(pi // 2) ( s e n t - t c o s t ) t d t

=> M_x = int_0^(pi // 2) t s e n t d t - int_0^(pi // 2) t^2 c o s t d t

M_y = int_()^() overset(tilde)(x) d m = int_0^(pi // 2) ( c o s t + t s e n t ) * t d t

=> M_y = int_0^(pi // 2) t c o s t d t + int_0^(pi // 2) t^2 s e n t d t

Temos quatro integrais que devem ser resolvidas por parte. Então, vamos lá!

( i ) int_0^(pi // 2) t s e n t d t = - t c o s t |_0^(pi // 2) + int_0^(pi // 2) c o s t d t = (pi)/(2) c o s ((pi)/(2)) - 0 * c o s ( 0 ) + s e n t |_0^(pi // 2)

=> int_0^(pi // 2) t s e n t d t = 0 - 0 + s e n ((pi)/(2)) - s e n ( 0 ) = 1

( i i ) int_0^(pi // 2) t^2 c o s t d t = t^2 s e n t |_0^(pi // 2) - 2 int_0^(pi // 2) t s e n t d t = (pi^2)/(4) - 2 * ( 1 ) = (pi^2)/(4) - 2

( i i i ) int_0^(pi // 2) t c o s t d t = t s e n t |_0^(pi // 2) - int_0^(pi // 2) s e n t d t = (pi)/(2) + c o s t |_0^(pi // 2) = (pi)/(2) - 1

( i v ) int_0^(pi // 2) t^2 s e n t d t = t^2 c o s t |_0^(pi // 2) + 2 int_0^(pi // 2) t c o s t d t = 0 + 2 * ((pi)/(2) - 1) = pi - 2

Passo 5

Juntando os resultados do último passo, ficamos com

M_x = int_0^(pi // 2) t s e n t d t - int_0^(pi // 2) t^2 c o s t d t = 1 - ((pi^2)/(4) - 2) = - (pi^2)/(4) + 3 = (1)/(4) (12 - pi^2)

M_y = int_0^(pi // 2) t c o s t d t + int_0^(pi // 2) t^2 s e n t d t = (pi)/(2) - 1 + pi - 2 = (3)/(2) pi - 3 = (3)/(2) (pi - 2)

Agora, só precisamos dividir por M = (pi^2)/(8) :

overset(̄)(x) = (M_y)/(M) = ((3)/(2) (pi - 2))/((pi^2)/(8)) = (3)/(2) (pi - 2) * (8)/(pi^2) = (12)/(pi^2) ( pi - 2 ) = (12)/(pi) - (24)/(pi^2)

overset(̄)(y) = (M_x)/(M) = ((1)/(4) (12 - pi^2))/((pi^2)/(8)) = (1)/(4) (12 - pi^2) * (8)/(pi^2) = (2)/(pi^2) ( 12 - pi^2 ) = (24)/(pi^2) - 2

Ufa, essa foi um pouquinho longa, né? Gostou? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

overset(̄)(x) = (12)/(pi) - (24)/(pi^2)

overset(̄)(y) = (24)/(pi^2) - 2

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